线性代数第1-5章习题详解

前言

解肖斌

因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx y

x yx. （1）1 4 ； （2）bca; （3）abc； （4）y

222

183cababcx yxy201

解 （1）1 4 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)

183

= 24 8 16 4= 4

abc

（2）bca acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

cab

111

（3）abc bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

a2b2c2

xyx y

x yx x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 （4）yx yxy

3xy(x y) y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3 2(x3 y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n 1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n 1)(2n)(2n 2) … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

n(n 1)

： 2

3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1)(2n 2)(n 1)个

（6）逆序数为n(n 1)

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …

(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1)(2n 2)(n 1)个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n)(2n 2)(n 1)个

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为( 1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．

由于p1 1,p2 3已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0 0 1 0 1或0 0 0 2 2

a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

4.计算下列各行列式：

4 1（1）

10 0

解

1

2512021

4 21

3 12

；（2） 0 127 50

4

236

1 a

abacae 11 ；（3）bd cdde；（4）

2 0bfcf ef 2 0

1

b 1001c 1

0 0 1 d

4

1(1)

012512021442c2 c310c4 7c370 1

2302 4 1 104 110

02

2 ( 1)4 3=12 2 =12

2 3 14314

10

c2 c3c1 2c3

9910

00 2=0 1714

213 1(2)

1250

42361

1c4 c222213 1125042360

2r4 r202213 1122142340

2r4 r100213 11200423002=0 00

abacae bce 111

(3)bd cdde=adfb ce=1 11=4abcdef

bfcf efbc e11 1

a 1(4)

001b 1001c 1001 ab0r1 ar2 1b10 1d00a

1c 10

aba0

c1 =( 1)( 1)2 1 1

1

0 1d

d

c3 dc2

abaad

abad

1c1 cd=( 1)( 1)3 2=abcd ab cd ad 1

11 cd

0 10

ax byay bzaz bxxyza2abb2

5.证明:(1)2aa b2b=(a b)3;(2)ay bzaz bxax by=(a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy111

a2

b2(3)2

cd2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2

0;

(c 3)2(d 3)2

1111abcd

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d) (c d)(a b c d); (4)2

ab2c2d2a4b4c4d4x 100x 1(5)

000anan 1an 2

证明

0000

xn a1xn 1 an 1x an. x 1a2x a1

a2ab a2b2 a22c2 c1ab ab2 a23 1ab a(1)左边 (b a)(b a)2ab a2b 2a ( 1)

12b a2b 2ac3 c1

100

(a b)3 右边

xay bzaz bxyay bzaz bx

按第一列

ayaz bxax by bzaz bxax by (2)左边

分开

zax byay bzxax byay bz

分别再分

xay bzzyzaz bxxyzyzx

分别再分

a2yaz bxx 0 0 bzxax bya3yzx b3zxy zax byyxyay bzzxyxyz

xyzxyz

a3yzx b3yzx( 1)2 右边

zxyzxy

a2

b2

(3) 左边 2

cd2a2b2c2d2

(2a 1) (2b 1) (2c 1) (2d 1)abcd4a 44b 44c 44d 4

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2

(b 3)2c2 c1(c 3)2c3 c1(d 3)2c4 c1

11114a 44b 44c 44d 4

a2b2c2d2

2a 12b 12c 12d 14a 44b 44c 44d 46a 96b 9

6c 96d 9

a2

按第二列b2

2

分成二项c2

d26a 9a26b 9b2

6c 9c26d 9d2

6a 96b 9

6c 96d 9

c3 4c2a2

第一项

c4 6c2b2c3 4c2c2

第二项

c4 9c2d2

abcd4444

9a29b2

9c29d2

11114a4b4c4d6a6b

0 6c6d

1000

b ac ad a

ab ac ad a2222

b ac ad2 a2 (4) 左边 2222222=ab ac ad a

b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)4444444

ab ac ad a

111

c ad a =(b a)(c a)(d a)b a

b2(b a)c2(c a)d2(d a)

100

=(b a)(c a)(d a) b a c bd b

b2(b a)c2(c a) b2(b a)d2(d a) b2(b a)

=(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)

11

(c2 bc b2) a(c b)(d2 bd b2) a(d b)

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)

(5) 用数学归纳法证明

当n 2时,D2

x 1

x2 a1x a2,命题成立.

a2x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立，即

Dn 1 xn 1 a1xn 2 an 2x an 1,

则Dn按第1列展开:

1

x

Dn xDn 1 an( 1)n 1

1

0 1 1

00 x

00

xDn 1 an 右边 1

所以，对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转，依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 ，D2 ，D3 ，

a11 a1na11 an1an1 a11

证明D1 D2 ( 1)

证明 D det(aij)

n(n 1)2

D,D3 D.

an1

D1

a11

a11 a1n

a11 a1n

anna21 a2n

a ann

ann ( 1)n 1n1 ( 1)n 1( 1)n 2an1

a1n

a21 a2n

a31 a3n

a11 a1nn(n 1)

n 1n 21 2 (n 2) (n 1)

( 1)( 1) ( 1) ( 1)D ( 1)2D

an1 ann

n(n 1)2

同理可证D2 ( 1)

a11 an1n(n 1)n(n 1)

T

( 1)2D ( 1)2D a1n ann

n(n 1)2

D3 ( 1)

n(n 1)2

D2 ( 1)

( 1)

n(n 1)2

D ( 1)n(n 1)D D

7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：

a

(1)Dn

1

,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

1

xa

(2)Dn

a

ax a

a

aa

; x

(a n)n (a n)n 1 ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． a n 1

(3) Dn 1

an(a 1)n

an 1(a 1)n 1

aa 111

an

(4) D2n 0

bn

0a1b1c1d1 0

0; dn

cn

(5)Dn det(aij),其中aij i j;

a1111 a2

(6)Dn

11

解

1

1

,其中a1a2 an 0.

1 an

a00

(1) Dn

010a0 0000a 00 000 a0100 0a

00a 0

000 0

000 a

0a

按最后一行展开n 1

( 1)0

1

a0

0 ( 1)2n a

a(n 1)(n 1)0(n 1) (n 1)

(再按第一行展开)

a

( 1)n 1 ( 1)n

a(n 2)(n 2)

(2)将第一行乘( 1)分别加到其余各行，得

an an an 2 an 2(a2 1)

xaaa xx a0Dn a x0x a

a x00

再将各列都加到第一列上，得

a

0 0 0x a

x (n 1)aaa

0x a0

Dn 00x a

000 a

0

0 [x (n 1)a](x a)n 1 0x a

(3)从第n 1行开始，第n 1行经过n次相邻对换，换到第1行，第n行经(n 1)次对换换到第2行…，

经n (n 1) 1

n(n 1)

次行交换，得 2

Dn 1

11

a 1n(n 1)a

( 1)2

an 1(a 1)n 1an(a 1)n 1 a n (a n)n 1 (a n)n

此行列式为范德蒙德行列式

n(n 1)2

Dn 1 ( 1)

n 1 i j 1

[(a i 1) (a j 1)] [ (i j)] ( 1)

n(n 1)2

( 1)

n(n 1)2

( 1)

n (n 1) 1

n 1 i j 1n 1 i j 1

[(i j)]

n 1 i j 1

(i j)

an

(4)D2n 0

a1b1

c1d1

0an 1

bn

dn

a1b1

c1d10

dn 100dn

cn 1cn

0

( 1)

2n 1

cn

bn 100an 1

bn

a1b1c1d1

bn 10dn 10

按第一行展开

an

0cn 10

都按最后一行展开 andnD2n 2 bncnD2n 2

由此得递推公式：

D2n (andn bncn)D2n 2

即 D2n

(ad

i

i 2

n

i

bici)D2

而 D2

a1b1

a1d1 b1c1

c1d1

得

D2n (aidi bici)

i 1

n

(5)aij i j

012310122101

Dn det(aij)

3210 n 1n 2n 3n 4 n 1n 2

n 3r1 r2n 4r2 r3, 0 1111 1 111 1 1 11 1 1 1 1 n 1n 2n 3n 4 111 1 0

1000 1 200

c2 c1,c3 c1 1 2 20

1 2 2 2c4 c1,

n 12n 32n 42n 5 0 0 0

=( 1)n 1(n 1)2n 2

0 n a100 a2a200 a3a300 a4 000000

001

001 001 001 an 1an 11 0 an1 an 000 000 000 000 an 2an 20 00 an

00

00 00

an 1an 1 0 an

a11

11 a2

(6)Dn

11

1

c1 c2,c2 c3 1

c3 c4, 1 an

a100 a2a200 a3a3

按最后一列

(1 an)(a1a2 an 1) 00 a4

展开（由下往上）

000000

a100

a2a200 a3a3

000000

00

00 00 an 1an 1 0 an

a2a20

0 a3a300 a4 000000

(1 an)(a1a2 an 1) a1a2 an 3an 2an a2a3 an (a1a2 an)(1

i 1n

1

) ai

8.用克莱姆法则解下列方程组：

1, 5x1 6x2

x x x x 5, 1234 x 5x 6x 0,123 x 2x x 4x 2, 1 234(1) (2) x2 5x3 6x4 0, 2x1 3x2 x3 5x4 2, x3 5x4 6x5 0, 3x1 x2 2x3 11x4 0; x4 5x5 1.

1112

解 (1)D

2 331

51 22D1

2 301

111111111 1401 2301 2

1 50 5 3 700 132110 2 1800 51151 1405

1 5 2 321101

1

0 12

11 5905

50 131101

11111301 23 142 800 1 5414000142 1 91 50901

3 23052110 13

1 9

211

09 3 1 5 1 91 5 1 90121101211

142

00 10 4600 138002312000015111511151 2 140 7 230 1D2

2 2 1 50 12 3 700302110 15 1800

1

32339

12 150 10000

1132

284

1 190 11511112 2412D3 426 ; D4

2 3 2 52 33101131

x1

15

1 2

142

1 220

D1DDD

1,x2 2 2,x3 3 3,x4 4 1 DDDD

51

(2) D 0

0065100065100065100

按最后一行

5D 0

展开65

51006510065100

5D 6D 06

5(5D 6D ) 6D 19D 30D 65D 114D 65 19 114 5 665

的余子式(D 为行列式D中a11的余子式,D 为D 中a11,D ,D 类推)

1

0D1 0

01

65100065100065100

按第一列

D 0

展开65

65100651

006500

D 64 19D 30 64 1507 06

51D2 0

001000106510006510

16

按第二列05

0

01展开

6

00

5

0651050016

60550100650

5600

156 5 63 0

0156

65 1080 1145

51D3 0

0065100100010065100065

按第三列展开

100051000651056015

60150000650

1605600

056 6150 0

0150166

19 6 114 703

51D4 0

0051D5 0

00

6510065100

0651006510

1000100651

0006510001

按第四列展开

10 00510065100501 6050651006510

560

5 6156 395 0

015

6

按最后一列

展开

10005100651006

D 1 211 212 51

x1

1507

;665

x2

1145

;665

x3

703

;665

x4

395

;665

x4

212

． 665

x1 x2 x3 0

9.问 , 取何值时,齐次线性方程组 x1 x2 x3 0有非零解？

x 2 x x 0

23 1

11

解D3 1 1 ，齐次线性方程组有非零解，则D3 0

12 1

即 0得 0或 1

不难验证，当 0或 1时,该齐次线性方程组确有非零解.

(1 )x1 2x2 4x3 0

10.问 取何值时,齐次线性方程组 2x1 (3 )x2 x3 0有非零解？

x x (1 )x 0

23 1

解

24 3 4

D 23 1 21 1

111 101

(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )3 2(1 )2 3

齐次线性方程组有非零解，则D 0 得 0, 2或 3

不难验证，当 0, 2或 3时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3 x2 3y1 y2 5y3 x3 3y1 2y2 3y3

求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解由已知

x1 221 y1

x2 315 y2 323 y x

2 3

y1 221 x1 7 49 y1 故y2 315 x2 63 7 y2 y 323 x 32 4

3 y3 2

1

y1 7x1 4x2 9x3

y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3

2 已知两个线性变换

y1 3z1 z2 x1 2y1 y3

x2 2y1 3y2 2y3 y2 2z1 z3 y3 z2 3z3 x3 4y1 y2 5y3

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解由已知

x1 201 y1 201 31 x 232 y 232 20 x2 415 y2 415 0 1

2 3

0 z1

1 z2 z 3 3

613 z1 12 49 z2 10 116 z 3 x1 6z1 z2 3z3

所以有 x2 12z1 4z2 9z3

x3 10z1 z2 16z3

111 123

3 设A 11 1 B 1 24 求3AB 2A及AB

1 11 051

T

111 123 111 解3AB 2A 3 11 1 1 24 2 11 1

1 11 051 1 11 058 111 21322

3 0 56 2 11 1 2 1720

290 1 11 429 2 111 123 058 ATB 11 1 1 24 0 56

1 11 051 290

4 计算下列乘积

431 7 (1) 1 23 2 570 1

431 7 4 7 3 2 1 1 35 解 1 23 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6 570 1 5 7 7 2 0 1 49 3 (2)(123) 2

1

3

解(123) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)

1

2

(3) 1 ( 12) 3

2 ( 1)2 2 2 2

解 1 ( 12) 1 ( 1)1 2 1 3 3 ( 1)3 2 3 1

02140 (4)

1 134 1

4 1 02140 解

1 134 1

4

3 1 303 1 30

1 2 1 2

4

2 6

1

2 6 78 1 20 5 6 2

a11a12a13 x1

x

(5)(x1x2x3)a12a22a23

2 a13a23a33 x3

解

a11a12a13 x1

(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33

x1

x)x2 x 3

3

22

a11x12 a22x2 a33x3 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3

5 设

1A 1

2 B 1

13 0 问

2

(1)AB BA吗?

解AB BA

因为

3AB 4

4 BA 1

36 2 所以AB BA

8