全等三角形题型例析

中考数学复习

全等三角形题型例析

一、选择条件型

例1 如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝

DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC．．

与△DEF全等的是（ ）

Ａ．（1）（5）（2）

Ｃ．（4）（6）（1） Ｂ．（1）（2）（3） Ｄ．（2）（3）（4）

解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）

识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（Ｄ）不能判断△ABC与△．．

DEF全等．

二、补充条件型

例2 如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△AD

DCO，请你补充条件_____________（只要填写一个你认为合适的条件）．

解题思路：由AB=DC以及图形隐含的对顶角相等：∠AOB=∠DOC

BC 可知，要使△ABO≌△DCO，根据（AAS）识别法，直接可补充∠A=∠D或∠ABO＝∠DCO．间

接可补充：AC＝DB．

评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）

（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点．在添加条

件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件．

三、结论选择型

例3．如图．∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：

①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．

其中正确的结论是 ．

（注：将你认为正确的结论都填上．）

解题思路：根据已知“∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF”可得△ABE≌△ACF，因此

有∠EAB＝∠FAC，BE＝CF，AC＝AB，所以①、②正确；因为∠CAB＝∠BAC，∠B＝∠C ，

AC＝AB，所以△ACN≌△ABM，故③也正确；根据条件，无法推出CD＝DN，故④不正确．所

以，正确的结论是①、②、③．

评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，

因答案的不唯一，加

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大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案．

四、结论探究型

例4．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，

且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有 对．

解题思路：在△ADO与△AEO，根据条件：CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC及隐含的条

件AO＝AO（公共边），得到△ADO≌△AEO（AAS）；从而得到AD＝AE，故Rt△ADC≌Rt△AEB

（HL）；进一步可推得△ABO≌△ACO（SAS），△BDO≌△CEO（AAS），因此，图中全等三角形

共有4对．

五、自编组合型

例5．如图，在△ABC和△DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其

中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．

①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．

已知：

求证：

证明：

解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组

成的命题（不论真假）有：①②③ ④ ①②④ ③ ①③④ ② ②③④ ① 共4个命题，其中真命题有2个，①②④ ③或②③④ ①，选择其中一

个，不难完成题目的解答．

解：如①②④ ③

证明：∵BE＝CF ∴BC＝EF 又∵AB＝DE， AC＝DF

∴△BAC≌△DEF（SSS）

∴∠ABC＝∠DEF．

六、运动变化型

例6 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明． BECFADB D B A

图2

A 图1 N B 图3

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证明：（1） ① ∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90° ，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE， ∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE－CD=AD－BE．

（3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE－AD（或AD=BE－DE，BE=AD+DE等）．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，

∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－AD．

评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）（2）小题为证明题，第（3）小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力．

七、应用型

例7．如图，将两根钢条AA ，BB 的中点O连在一起，使AA ，BB

可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则A B 的长等于内

槽宽AB，那么判定△AOB≌△A OB 的理由是（ ）

Ａ． 边角边 Ｂ．角边角 Ｃ．边边边 Ｄ．角角边

解题思路：：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一．本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为Ａ．