2002年在北 京召开的国际数学 家大会(ICM2 002)。在那个 大会上,到处可以 看到一个简洁优美 的图案在流动,那 个远看像旋转的纸 风车的图案就是大 会的会标.
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
c 1. 直角三角形三边的关系
a
b
测量你的两块直角三角尺 的三边的长度,并将各边的长 度填入下表:三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系
三角尺 1 2
直角边a
直角边b
斜边c
关系
请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系
。
P A
C
Q B
R
P 、 Q 、 R 的面积有什么关系?
P+Q=R直角三角形三边有什么关系?
AC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
正方形P的面积=
9
平方厘米;
正方形Q的面积= 16 平方厘米;正方形R的面积= 25 1 平方厘米.
R 3 4 4 1 2 正方形P、 Q、 R的面积之间的关系 25 P+ Q= R 是 .(每一小方格表示1平方厘米)
直角三角形ABC的三边的长度之间 存在关系 AC2+BC2=AB2 .
分“割”成若干个直角边 为整数的三角形。 在一般的直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方也成立!
52+122= 325 252=
25
12
5
在方格图中, 325 成立 用三角尺画出两条 直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形, 然后用刻度尺量出 斜边的长,并验证 关系“两直角边的 平方和等于斜边的 平方”对这个直角 三角形是否成立.
勾股定理: 对于任意的直角三角形,如果 它的两条直角边分别为a、 b,斜边为c, 那么一定有a2+b2=c2。c直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
c a┏
b
a2+b2=c2
做一做:A625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________AC=__________ 15
C400
6 2
4 2 X=______x 62 22 32 4 2
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 1442 2
z
169Y=169-144 Y=5
625
576
2
X=81+144 X=15
Z=625-576 Z=7
①
②
③
已 S 1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的 知 值S3S4
结论:S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
S2 S1 S5S6
S7
3.求下列直角三角形中未知边的长:比 一 比 看 看 谁 算 得 快 !
5 8 17
x20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1如图14.1.4,将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,
BC长为2.16米,求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离AB.(精确到0.01米)解 在Rt△ABC中, BC=2.16米,AC=5.41米,
?2.16
根据勾股定理可得 AB= AC2 -BC 2 = 541 2 -21
6 . .2
≈4.96(米).答: 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 AB 约为4.96米.
一个3m长的梯 子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移 0.5m吗?
A C
O
B
D