虚功原理在结构力学中的应用

虚功原理在结构力学中的应用顾朝阳徐鹏辉

(郑州大学土木工程学院 4 5 0 0 0 1 )【摘要】虚功原理是《理论力学》中分析力学部分一个很重要的原理，它利用虚位移和理想约束的概念讨论力学系统处于平衡的条件。因为在虚功原理中力系与位移彼此独立无关，所以不仅可以把位移状态看作虚设的，也可将力状态看作虚设的，其应用有两种形式：虚力原理和虚位移原理。本文主要介绍这两种形式在结构力学中的应用。l一~~

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【关键词】虚功原理；结构力学；应用 1虚力原理虚力原理是虚功原理的一种重要应用形式，即虚设力状态，求未知位移。以下为虚力原理在解实际问题时求位移的方法。 1 . 1单位荷栽法由虚功方程，内力虚功等于外力虚功，可得 A=』 ( ( k p+d△+

图2 . 1

2 . 2机动法作结构影响线机动法作影响线的原理 (牟勒尔一一贝里斯劳原理 )可叙述为：

结构中任一作用力影响线上的纵坐标等于在放松相应作用力的约柬后所形成单结构中引进一个相应的单位位移所得到的挠度曲线的纵坐标。该原理不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构。

d h )一∑ c .该式适用于： ( 1 )静定结构和超静定结构 ( 2 )弹性体系和非弹性体系 ( 3 )各种因素产生的位移计算。根据上式，再由 ( k p=,d A=, d l 1:可得： A=∑』 (++) d s一乏 c . 1 . 2图乘法

在计算梁和刚架位移时，用单位荷载法求位移的公式为，若某段梁的 Mi图为直线，如图 1,可取图示坐标系，取 Mi图线与轴线较大 0为坐标原点，夹角为，则=X,故 A B段上积分：,其中 d x为图中微面积对 Y轴的静矩，因此为整个图对 Y轴的静矩，由于个图形对某轴静矩等于其面积与其形心到该轴距离的乘积，即d一

图 2_ 2

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三

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如图 2 . 2,要求 A点竖向反力影响线，先解除 A处竖向约束， 并使 A点产生向上的单位位移，所得的挠度曲线纵坐标为该作用力影响线坐标。 机动法是绘

制杆件结构内力和支座反力影响线的一种基本方法，与静力法作影响线相比要简单的多。机动法利用虚功原理巧妙地将力的问题转化为几何问题，大大简化了计算。对于静定结构，机动法可定量作出结构影响线；对于超静定结构，可定性的作出影响线。利用影响线可以求支座反力大小和荷载最不利位置的判定，在结构设计中应用广泛。2 . 3位移法

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图 1

位移法是在结构节点处加上约束阻止其运动，并确定出这些约束所需要的力，然后允许节点处产生位移直到虚构的约束力被抵消。其基本未知量是独立节点位移。因此，对于超静定次数多， 而节点数少的结构，用位移法求解比较方便。如图 2 . 3所示结构， 若用力法求解，有 3个未知量，用位移法则只有 1个未知量。

图乘法实质上是对单位荷载法的一种简化计算，并且只适用于 F列情况的杆件： ( 1 ) E I为常数 ( 2 )直杆 ( 3 )图和图中至少有一个是直线型。图乘法将积分问题转化为几何问题，求解更加方便直观。1 . 3求超静定结构的支座反力

在上面的叙述中，已经给出了静定结构位移的求法，因此，对于超静定结构，我们可以解除多余约束，代之以未知力，并引入位移条件，作出力法方程。求解力法方程即可得多余未知力。通过力法求支座反力是利用位移条件，将超静定结构转化为静定结构问题求解，在分析超静定次数较少的结构时简单明了。2虚位移原理

图 2 - 3

位移法以节点位移作为基本未知量，将结构拆成杆件，化整为零，以单根杆件的内力和位移关系作为计算的基础，冉把杆件组装成结构，通过力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知节点位移。3结语

虚位移原理即虚设位移状态，求未知力。它可以求解静定结构支座反力、作静定结构影响线以及求解超静定结构等。2 . 1求静定结构支座反力

在求解静定结构支座反力时，可先解除待求支座反力处约束， 代之以单位位移，由内力虚功等于外力虚功可直接求出支座反力。 如图2 . 1,要求支座反力，先撤去 C处竖向约束，代之以支座反力(=)再令结构沿 F x方向发生单位位移，即8 x=1,由几何关系建立虚功方程++=0可直接求得

。 用虚位移原理将力的问题转化为几何问题，求支座反力更方便。对类似结构，当跨数较多时，本解法的优越性将更明显。

综上所述，虚功原理在结构力学中有很广泛的应用，很多问题的求解都用到了虚功原理，其应用涵盖了静定结构内力与位移的求解，超静定结构求解。此外，由虚功原理导出的力法、位移法等应用广泛。 【参考文献】 l 1]曾宪桃、樊友景，《结构力学》 (上册 ),郑州大学出版社， 2 0 0 8l 2] A.格哈利， A . M-内维尔， T . J .布朗，《结果分析一一经典方法与矩阵方法的统一》, 2 0 0 8 I 3 j樊友景、何伟，《弹性力学》,化学工业出版社， 2 0 1 0 [ 4]吴少平，虚功原理及其应用，高等函授学报 (自然科学版 ), 2 0 0 0 [ 5 J张东岭，有关虚功原理若干问题的研究，山西建筑， 2 0 0 8