Chap5-离散时间傅立叶变换

第5章离散时间傅里叶变换

The discrete-time Fourier Transform

主要内容、重点(4学时) 主要内容¾离散傅立叶变换的定义、性质、应用

重点¾离散傅立叶变换的定义

作业 5.23 2.18 2.19(用本章知识重做)第5章离散时间傅里叶变换 zhuzwin@http://

有关英文缩写

注释:

CFS( the Continuous-time Fourier Series ):连续时间傅立叶级数

DFS( the Discrete-time Fourier Series ):离散时间傅立叶级数

CTFT( the Continuous-Time Fourier Transforms) :连续时间傅立叶变换

DTFT( the Discrete-Time FourierTransforms):离散时间傅立叶变换

5.1非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换5.1.1离散时间傅立叶变换(DTFT)的定义 (1)离散时间傅立叶级数(周期信号)

~ x[ n]=∑ a k e jk ( 2π/ N ) n k=< N> 1 jk ( 2π/ N ) n~ x[ n]e a k=∑ N n=< N> +∞ jkω0t% x ( t ) a e=∑ k k= ∞对比连续时间周期信号： jkω0t a=1 x% ( t ) e dt k∫ T T 第5章离散时间傅里叶变换 zhuzwin@http://

离散时间傅立叶级数(周期信号)~ x[ n]

ak

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

(2)离散时间傅立叶变换(非周期信号)当 N→∞,N→∞~ x[n] → x[n] 2π N→∞ω0= →dω N N→∞ kω0 →ω

1 ak= N

n=< N>

∑

~ x[ n]e jk ( 2π/ N ) nX (eN→∞jω

1 ak= Nx[ n]e jω n

n= ∞

∑

+∞

x[ n]e jω n

如果定义:

)=

n= ∞

∑

+∞

x[n])= lim那么: x[n]= lim (~= lim

N→∞

k=< N>

jk ( 2π/ N ) n a e∑ k

N→∞

k=< N>

∑

1 X ( e jω ) jωn e= 2π N

∫π2

X ( e jω ) e jωn dω6

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

DTFT变换对x[n]← → X (e )DTFT+∞ jωn jω X (e )=∑ x[n]e N= ∞ jω jωn x[n]= 1 X ( e ) e dω∫ 2π 2π

jω

X ( jω )=+∞ x ( t ) e jω t dt∫ ∞ 对比CTFT变换对: 1+∞ jω t x ( t ) X ( jω ) e dω= ∫ 2π ∞

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

离散时间傅里叶变换(非周期信号)

对比

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

5.1.2 DTFT例题

例题: 5.1 5.2 5.3

x[n]= a u (n),n

1 a< 1← → jω 1 aeDTFT

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

1 a2 x[n]= a, 0< a< 1← → 1+ a 2 2a cos wn DTFT

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

1 1,| n|≤ N1 DTFT sin( N1+ 2 )ω x[n]= ← →ω 0,| n|> N1 sin 2

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

h[n]= h[t]=

1ω<ω0 sinω 0 n H (e jω )= πn 0ω0<ω≤π 1ω<ω0 sinω 0 t H ( jω )= πt 0ω>

ω0

第5章离散时间傅里叶变换

zhuzwin@http://

5.1.3离散时间傅里叶变换收敛问题

jω

当序列是无限长序列时，由于X（e)表达式是无穷项级数，会存在收敛问题。两个收敛条件（满足其中一个即可）

n= ∞

∑

+∞

+∞

|x[n]|<

∞绝对可和|x[n]|<∞能量有限

2

n= ∞

∑

5.2周期信号的傅里叶变换

x[n]=

k=< N>

∑a ek+∞ k= ∞

jk ( 2π/ N ) n

2π X (e )=∑ 2πakδ (ω k ) N k= ∞jω+∞

对比 FT x(t )=∑ ak e jkω0t← → X ( jω )=第5章离散时间傅里叶变换

k= ∞

∑a

+∞

k

2πδ (ω kω0 )14

zhuzwin@http://

5.3 离散时间傅里叶变换性质

x[n]← →X(e)

5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性

FT

jω

X(e

5.3.2 线性如果那么

j(ω+2π)

)← →X(e)

FTjω

x1[n]← →X1(e)

FT

FTjω

x2[n]← →X2(e)

jω

jω

FTjω

ax1[n]+bx2[n]← →aX1(e)+bX2(e)

5.3.3 时移和频移性质

若则有和

x[n]← →X(e)x[n n0]← →e

FT

jωn0

FTjω

X(e)

jω

e

jω0n

x[n]← →X(e

FT

j(ω ω0)

)