青岛版初二上学期知识点总结数学初中教育教育专区

初二上学期知识点总结

三角形

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1．三角形的角平分线定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）

A

B C

D

几何表达式举例：

(1) ∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

(2) ∵∠BAD=∠CAD

∴AD是角平分线

2．三角形的中线定义：

在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）

A

B C

D

几何表达式举例：

(1) ∵AD是三角形的中线

∴ BD = CD

(2) ∵ BD = CD

∴AD是三角形的中线

3．三角形的高线定义：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

（如图）

A

B C

D

几何表达式举例：

(1) ∵AD是ΔABC的高

∴∠ADB=90°

(2) ∵∠ADB=90°

∴AD是ΔABC的高

※4．三角形的三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边，三角

形的两边之差小于第三边.（如图）

A

B C 几何表达式举例：(1) ∵AB+BC＞AC ∴……………(2) ∵ AB-BC＜AC ∴……………

5．等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC是等腰三角形

A

B

C

∴ AB = AC (2) ∵AB = AC

∴ΔABC 是等腰三角形 6．等边三角形的定义：

有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）

A

B

C

几何表达式举例：

(1)∵ΔABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC

(2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC 是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180°；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）

※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（1） （2） （3）（4） 几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴…………………

(2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°

(3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴…………………

(4) ∵∠ACD ＞∠A ∴…………………

8．直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）

A

B

C

几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形 (2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90°

9．等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）

几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC 是等腰直角三角形 (2) ∵ΔABC 是等腰直角三

D

A

B C

A

B

C A

B

C

A

B

C

角形

∴∠C=90° CA=CB

10．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图）

几何表达式举例： (1) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC ≌ΔEFG

∴∠A=∠E ………

11．全等三角形的判定：

“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”. （如图）

（1）（2）

（3）

几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG

∴ΔABC ≌ΔEFG (2) ……………… (3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中 ∵ AB=EF

又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG

12．角平分线的性质定理及逆定理：

（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）

（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）

A

O

B

C

D

E

几何表达式举例： (1)∵OC 平分∠AOB

又∵CD ⊥OA CE ⊥OB ∴ CD = CE

(2) ∵CD ⊥OA CE ⊥OB 又∵CD = CE ∴OC 是角平分线

A

B

C

G

E

F

A B C

G

E

F

A

B

C

E

F

G

13．线段垂直平分线的定义：

垂直于一条线段且平分这条线段

的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）A B

E

F

O

几何表达式举例：

(1) ∵EF垂直平分AB

∴EF⊥AB OA=OB

(2) ∵EF⊥AB OA=OB

∴EF是AB的垂直平分线

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：

（1）线段垂直平分线上的点和这

条线段的两个端点的距离相等；（如图）

（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）A B

C

M

N

P

几何表达式举例：

(1) ∵MN是线段AB的垂直平

分线

∴ PA = PB

(2) ∵PA = PB

∴点P在线段AB的垂直平分

线上

15．等腰三角形的性质定理及推论：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）

（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）

（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）

A

B C（1）

A

B C

D（2）

A

B C（3）

几何表达式举例：

(1) ∵AB = AC

∴∠B=∠C

(2) ∵AB = AC

又∵∠BAD=∠CAD

∴BD = CD

AD⊥BC

………………

(3) ∵ΔABC是等边三角

形

∴∠A=∠B=∠C =60°

16．等腰三角形的判定定理及推论：

（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C

对边也相等；（即等角对等边）（如图）

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）

（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）

A

B C（1）

A

B C（2）（3）

A

B

C（4）

∴ AB = AC

(2) ∵∠A=∠B=∠C

∴ΔABC是等边三角形

(3) ∵∠A=60°

又∵AB = AC

∴ΔABC是等边三角形

(4) ∵∠C=90°∠

B=30°

∴AC =2

1

AB

17．关于轴对称的定理

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴ΔABC≌ΔEGF

(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴OA=OE MN⊥AE

18．勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形的两直角边a、

b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）

（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）A

B

C

几何表达式举例：

(1) ∵ΔABC是直角三角

形

∴a2+b2=c2

(2) ∵a2+b2=c2

∴ΔABC是直角三角形

19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）

（2）如果三角形一边上的中线是

几何表达式举例：

∵ΔABC是直角三角形

∵D是AB的中点

E

F

M

O

A

B

C

N

G

这边的一半，那么这个三角形是

直角三角形.（如图） D A B C ∴CD = 21AB

(2) ∵CD=AD=BD ∴ΔABC 是直角三角形

几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

二 常识：

1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.

6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：

（1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A . 8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.

12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等. A B C E D A B C D 1

2

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）选取和作辅助线的原则：

① 构造特殊图形，使可用的定理增加；

② 一举多得；

③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；

④ 作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD 是角平分线） ① 在BA 上截取BE=BC 构造全等，转移线段和角；

② 过D 点作DE ∥BC 交AB 于E ，构造等腰三角形 .

B C D A E B C D A E

（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）

① 过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，构造中位线 ；

② 延长AD 到E ，使DE=AD 连结CE 构造全等，转移线段和角；

③ ∵AD 是中线 ∴S ΔABD= S ΔADC （等底等高的三角形

等面积）

(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC

① 作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；

② 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ，构造

新的等腰三角形.

（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE ，构造新的等边三角形；

② 作CE ∥AB ，转移角；

③ 延长BD 与AC 交于E ，

不规则图形转化为规则图形；

④ 多边形转化为三角形；

⑤ 延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ，直角三

角形转化为等腰三角形；

⑥ 若a ∥b,AC,BC 是角平 分线,则∠C=90°.

A

D

E

C

B

A

D

E

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

E

A

D

C

B

E A

D

C

B

D

A C

B

E

C

B

A

D E

C

E

B

D

A

A

D

O

B C

E

B

C

D

A

B

A

C

a b

分式

1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2. 分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3. 分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A B

为0的条件是A ＝0，且B ≠0.）

（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为 （0≠C ），其中A 、B 、C 是整式

注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C ；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=

简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；

（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分

别相乘，然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看

能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，

分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按

照从左到右的顺序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，

可先确定积的符号； bc

ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分

子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是： （其中n 是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：a b ± c b ＝ a ±c b

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为： a b ± c d ＝ad bd ± bc bd ＝ad ±bc bd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8、 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程. （2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整n n

n b

a b a )(去分母 转化

式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0

的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

9、解分式方程的步骤：

(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)

解整式方程；(4)验根．

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原

分式方程的解。

10、.含有字母的分式方程的解法：

在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，

解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的

限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

11、.列分式方程解应用题的步骤是：

(1)审：审清题意；(2)找:找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种： (1)行程问题基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．

(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．

数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。

4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。