精品 数学二轮复习 板块1 精讲2 平面向量与复数(4)

a ＋

b )⊥(3a －b )，故A 正确；由|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝7，故a·b ＝－32，则B

错误；设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－32，所以θ＝150°，故C 正

确；a 在b 方向的投影为|a |cos θ＝－32，故D 错误．]

5．(2020·大同调研)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，

使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )

A ．－6

B ．6

C ．－3

D ．3

D [由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.

由AB →＝3BE →，得CB →－CA →＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.

因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.

则CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．]

6．[多选]已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，设a 与b 的夹角为α，则( )

A ．若a ∥b ，则x ＝－2

B ．若x ＝1，则|b －a |＝5

C ．若x ＝－1，则a 与b 的夹角为60°

D ．若a ＋2b 与a 垂直，则x ＝3

ABD [由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2,1)，|b －a |＝|(2,1)－(1，－1)|＝12＋22

＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x )，由5＋(－1)(－1＋2x )＝0，解得x ＝3，故D 正确．]

7．[一题两空]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，cos A ＝14，D 是边BC 的中点，

E 是AB 上一点，且AE →＝λAB →(0≤λ≤1)，AE →·CE →＝12，则λ＝________，ED →·DC →＝

________.

13 0 [由已知得AB →·AC →＝3×2×14＝32

，CE →＝AE →－AC →＝λAB →－AC →，所以AE →·CE →＝λAB →·(λAB →－AC →)＝λ2AB →2－λAB →·AC →＝9λ2－32λ＝12，因为0≤λ≤1，所以λ

＝13.因为ED →＝EB →＋BD →＝23AB →＋12(AC →－AB →)＝16AB →＋12AC →，DC →＝12BC →＝12AC →－12AB →，

所以ED →·DC →＝112(AB →＋3AC →)·(AC →－AB →)＝112(－AB →2－2AB →·AC →＋3AC →2)＝0.]

8．[一题两空](2020·天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，