高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系(3)

高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

1

（2）x1

1x2

x1 x2x1x2

2 2007

22007

（3）(x1 5)(x2 5) x1x2 5(x1 x2) 25 2007 5( 2) 25 1972 （4

）

点津：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

1

x1 x2 (x1 x2) 2x1x2，x1

2

2

2

|x1 x2|

1x2

2

x1 x2x1x2

2

，(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2，

22

|x1 x2|

3

3

3

x1x2 x1x2 x1x2(x1 x2)，

x1 x2 (x1 x2) 3x1x2(x1 x2)等等．韦达定理体现了整体思想．

【例4】已知关于x的方程

x (k 1)x

2

14

k 1 0

2

，根据下列条件，分别求出k的值．

（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x1,x2满足|x1| x2．

思路导航：（1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是

x1 x2 0，二是 x1 x2，所以要分类讨论．

解：（1）∵方程两实根的积为5

12 2

[ (k 1)] 4(k 1) 0 3 4

k ,k 4

123 xx k2 1 5

k ,且k 412

42∴ 所以，当k 4时，方程两实根的积为5．

（2）由|x1| x2得知： ①当②当

x1 0x1 0

时，x1 x2，所以方程有两相等实数根，故

0 k

32；

时， x1 x2 x1 x2 0 k 1 0 k 1，由于

3

2，故k 1不合题意，舍去． 3

0 k

2时，方程的两实根x1,x2满足|x1| x2． 综上可得，

点津：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实

k

根的条件，即所求的字母应满足 0．

【直击高中】

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用非常广泛，它在二次函数、不等式、解析几何等方面都有非常广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用。 【例5】已知实数x、y满足x y xy 2x y 1 0，试求x、y的值．

思路导航：已知条件中由于只给出了关于x，y的一个关系式，所以并不能用普通的解方程组的方法求x，y，应考虑关系式的特殊性。

2

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