高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系(2)

高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

( 6) 4 5 15 264 0，∴ 原方程没有实数根．

2

点津：在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x的一元二次方程3x 2x k 0，根据下列条件，分别求出k的取值范围：

（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 思路导航：已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系，从而求出k的取值范围。

解： ( 2) 4 3 k 4 12k

3； （1）

仿练：（3）方程有实数根；

4 12k 0 k

1

4 12k 0 k

1

2

2

（2）

（4）方程无实数根．

4 12k 0 k

13； 1

3； 3． 解：（3）（4）

点津：求待定字母的取值范围，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中

4 12k 0 k

的二次项不能为0。若本题的一元二次方程改为：kx 2x 3 0，k的取值范围将分别是什么呢？

知识点二：一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的两个根为：

x1

2ax1 x2

2

2

x2

2a

2a

2

2a

所以：

ba，

2

x1 x2

b

b

( b) 2

4

ac2

ca

说明：一元二次方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是 0。

【例3】若x1,x2是方程x 2x 2007 0的两个根，试求下列各式的值：

2

1

（4）|x1 x2|．

思路导航：本例若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计（1）x1 x2； （2）x1

算．本例可利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1 x2 2,x1x2 2007 （1）

x1 x2 (x1 x2) 2x1x2 ( 2) 2( 2007) 4018

2

2

2

2

22

1

x2； （3）(x1 5)(x2 5)；