高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系(4)

高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

解：可以把所给方程看作关于x的方程，整理得： 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：

2

2

2

x (y 2)x y y 1 0

22

[ (y 2)] 4(y y 1) 3y 0 y 0，

代入原方程得：x 2x 1 0 x 1．

综上知：x 1,y 0

点津：转化的思想是高中数学的一个基本思想，可以把复杂问题简单化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要注意转化思想的运用。

【例6】（1）判断直线y 2x 1与抛物线y x 3x 1的交点的个数； （2）若直线y 2x b与抛物线y x有两个不同的交点，求b的取值范围 y 2x 1

2y x 3x 1 思路导航：求直线与抛物线交点的个数，第（1）小题可以转化为方程组 y 2x b

2y x的解的个数；第（2）小题可以转化成方程组 有两个不同的解时，求b的取值范

围。

2

2

2

y 2x 1 2y x 3x 1，消元得，x2 5x 0，此时 解：（1）依题意，联立方程组

( 5) 4 1 0 25 ，故方程组有两个不同的解，即有两个不同的交点。0

2

y 2x

2y x （2）由

2

b

得x 2x b，即x 2x b 0依题意知，

22

( 2) 4 1 ( b) 0， b 1

点津：判断两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法。其中判别式法是把图像交点个数的判断转化为判断方程组的解的个数，体现出解析几何的思想——用代

数的方法研究几何问题。

【例7】已知x1,x2是一元二次方程4kx 4kx k 1 0的两个实数根．

2

（1）是否存在实数k，使不存在，请您说明理由．

x1

(2x1 x2)(x1 2x2)

3

2成立？若存在，求出k的值；若

的值为整数的实数k的整数值．

思路导航：对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

解：（1）假设存在实数k，使

2

（2）求使x2

x2x1

2

(2x1 x2)(x1 2x2)

32成立．

∵ 一元二次方程4kx 4kx k 1 0有两个实数根