二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质(3)

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

１１ ｃｃ）ｓｉ（ｘ－ｃｔ）＋１２ ２２２ｘ－ｃｔ）　ｘｔ≥ｃ

１ １ｃ ｃ）ｃｏ（ｘ－ｃｔ） １２ ２２２

１ －ｃ ｓｉ（ｘ－ｃｔ）－２ ２ ｘ－ｃｔ）（　ｘ＜ｃｔ １ ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ） （１ ２ｓｓｓｕｐ｜ｃ＋｜ｃ‖φ‖Ｌφ≤｜∞＝ｅｘｘｘｘ｜１｜２｜

（０）‖ｖ‖Ｈ２＝‖ｖ‖Ｈ２

２∞

将Ｌ嵌入到Ｈ中可得：

ｍ与ｘ无关）‖ｗ‖Ｌ‖ｗ‖Ｈ２　（∞≤ｍ

ｗ＝ｖ－φ｜ｖ｜－｜ｗ｜ｖ｜＋｜φ｜≤｜≤｜φ｜

（０）‖ｗ‖Ｈ２≤‖φ‖Ｈ２＋‖ｖ‖Ｈ２＝‖φ‖Ｈ２＋（０）‖ｖ‖Ｈ２

（０）（０）‖ｗ‖Ｌ‖φ‖Ｈ２＋ｍ‖ｖ‖Ｈ２∞≤ｍ

φｘｘｘ＝ （－ｃ１ｃ２）ｓｉ１（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ ２２（－ｃｔ） １１ 　ｘ≥ｃｔ

２ｃ２－ｃｏ２（ｘ－ｃｔ） １２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ－ｃｔ）

　ｘ＜ｃｔ （１２ｃ１２ｃ２）ｃｏ１２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１ｘｘｘ｜≤２｜ｃ１｜＋１２｜ｃ２｜φｘｘｘｘ＝ ｃ１－ｃ１２）ｓｉ（ｘ－ｃｔ）－ ２２ｘ－ｃｔ） （　ｘ≥ｃｔ １ｃ１－ｃｏ１（ｘ－ｃｔ）

２２ ２ｃ１－ｃ２）ｓｉ１（ｘ－ｃｔ）－ ２ｘ－ｃｔ） １　ｘ＜ｃｔ２ｃ１

ｃｏ１ ２（ｘ－ｃｔ）－ ‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１

ｘｘｘｘ｜≤２

｜ｃ１｜＋｜ｃ２｜φｘｘｘｘｘ＝ （１２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ （ｘ－ｃｔ）　ｘｔ

ｃ１１ ≥ｃ１ｃ２）ｃｏ（ｘ－ｃｔ）

２２２ （ｃ１２２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）－ ｘ－ｃｔ）　ｘ＜ｃｔ １２ｃ２ｃｏ１ ２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘｘｘｘｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φｘｘｘｘｘ｜≤＋１２｜ｃ１｜＋＋１２

｜ｃ２｜因为Ｈ＝∫

ｖ２＋ｖ２＋２

ｘｖｘｘ

ｄｘ是方程（１）的守衡量所以

‖φ‖Ｈ２＝‖φ（０）‖Ｈ２

取Ｍ＝ｍａｘ

{１１

５

２

‖φｘ

‖Ｌ

∞＋‖φｘｘ

‖Ｌ∞＋２‖φｘ

ｘｘ

‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖Ｌ∞＋１

２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，２‖ｗ‖Ｌ∞＋１

２

‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ‖Ｌ∞＋３‖φｘｘ

‖Ｌ∞＋３

２‖φｘ

ｘｘ‖Ｌ∞}

（１０）

由式（

９，１０）得到：ｄｄｔ

（‖ｗ‖２２＋‖ｗｘ‖２２

ＬＬ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２≤Ｍ‖ｗ‖２２Ｌ２＋Ｍ‖ｗｘ‖Ｌ２＋Ｍ‖ｗ２ｘｘ‖Ｌ２＝Ｍ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ

‖Ｌ２）即：

ｄｄｔ

‖ｗ‖２２

Ｈ２≤Ｍ‖ｗ‖Ｈ２由Ｇｒｏｗｎｗａｌｌ不等式可得：

ｔ

‖ｗ‖２Ｍｄｔ‖２Ｈ２≤ｅ∫０‖ｗ（０）Ｈ２

即：

‖ｗ‖２

∫ｔ

Ｈ

２≤ｅ０Ｍｄｔ‖ｗ（０）‖Ｈ２

取　δ＝ε

ｅ

∫ｔ

０Ｍｄｔ可得：

‖ｗ‖２Ｈ２≤ε

即：

‖ｖ（ｔ，·）－φ（·ｃｔ）‖Ｈ２＜ε

因此，称φ（ｘ，ｔ）是轨道稳定的．

２　二阶ＣａｍａｓｓａＨｏｌｍ方程行波解的零值分布

　　当ｋ＝２时，高阶Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ方程行波解：

φ（ｘ，ｔ）＝（ｃ１ｃｏ１１

２（ｘ－ｃｔ）＋ｃ２

ｓｉ２

（ｘ－ｃｔ））ｅ－（ｘ－ｃｔ）｜　　ｃ１ｃ２＝０

式中：ｃ为波速．