第6讲 立体几何问题的题型与方法——范例分析(2)

∴ tg B1CB

BB1

2 , ∴ B1CB arctg2. BC

说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例8、 如图，在三棱锥S—ABC中，SA 平面ABC，AB AC 1，SA 2，D为BC的中点.

（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；

（2）若三棱锥S—ABC的体积为

3

，且 B求二面角S—BC—A的AC为 钝角，6

平面角的正切值；

（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离. 解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；

（2）设 BAC ，则V 解得 sin

112 1 2 sin

326

，所以 600（舍）， 1200. 2

SA 平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 AD BC,SD BC，

则 SDA是二面角S—BC—A的平面角.

SA

在Rt SDA中，tan SDA 4,

AD

故二面角的正切值为４；

（3）由（2）知，BC 平面SDA，所以平面SBC 平面SDA，过点A作AE SD，则AE 平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,

从而AE ADsin SDA

22即A到平面SBC的距离为. 1717

例9、如图a—l— 是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在 内，三角形

ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在 内， ABC是等腰直角三角形∠ACB=900. （I） 求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角.

解: (1) 过D向平面 做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

AB AD,OA为DA在平面 上的射影, AB OA DAE为二面角a—l—

的