2012年高考第一轮复习数学：6.3 不等式的证明(二(3)

来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.

证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，

∴要证原不等式成立， 即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］. 也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.

①

∵（a+b）+（b+c）≥2（a b）（b c）＞0， （b+c）+（c+a）≥2（b c）（c a）＞0， （c+a）+（a+b）≥2（c a）（a b）＞0， 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证.

【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*. 求证：na－1＜

a 1n

.

a 1n

证法一：要证na－1＜，即证a＜（

a 1ntn

+1）n.

令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+∵（1+

tn

）n.

a 1n

）n=1+C1n

n

tn

+ +Cnn（

tn

）n＞1+t，即na－1＜

x

n

成立.

证法二：设a=x，x＞1.于是只要证即证

x

n

1n

＞x－1，

n－1

1

x 1

n－1

＞n.联想到等比数列前n项和1+x+ +x

n－2

=

x

n

1

x 1

，

① ②

倒序x+x+ +1=

n

x

n

1

x 1

.

n－2

n－1

+1）

①+②得2·

x 1

x 1

=（1+x

n－1

）+（x+x）+ +（x

＞2xn 1+2xn 1+ +2xn 1＞2n. ∴

x

n

1

x 1

＞n.

思考讨论

本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下. ●闯关训练

夯实基础

1.已知a、b是不相等的正数，x=

a 2b

，y=a b，则x、y的关系是