空间向量与立体几何(7)

关于空间向量与立体几何

9

（3）设平面1D EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE

由⎩⎨

⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,

0,01x b a c b CE n C D n 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2

25

)2(22

2|

|||||4

cos

2

11=

+-⇒

=

⋅⋅=

x DD n DD n π

∴321+=x （不合，舍去）

，322-=x .

∴23AE =-

时，二面角1D EC D --的大小为

4

π

.

6、解：（I ）以B 为原点，1

BB

、BA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系.

由于，112,2,1,3

AB BB BC BC C π

=

==∠=

在三棱柱111ABC A B C -中有

1(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)B A B ,)0,2

3

,23(

),0,2

1,2

3(

1C C -

设即得由,0,),0,,2

3(

11=⋅⊥EB EA EB EA a E

)0,2,2

3()2,,2

3(0a a --

⋅--

= ,4

32)2(4

32

+

-=-+=a a a a

.,04

343)02323()0,21,23(

)0,2

1,23(

),(2

32

1,0)2

3)(2

1(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅=

=

=-

-

即故舍去或即得

又AB ⊥侧面11BB C C ，故AB BE ⊥. 因此B E 是异面直线1,AB EB 的公垂线，

则14

14

3||=+

=BE ，故异面直线1,AB EB 的距离为1.

（II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角.