2012考研数学归纳笔记(11)

证明 对n作数学归纳法。

推论 x0为f(x)的零点，当且仅当(x x0)为f(x)的因式（其中degf(x) 1）。 命题（高等代数基本定理的等价命题） 设f(x) a0xn a1xn 1 ...... an

(a0 0，n 1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复

数a1,a2,......,an，使

f(x) a0(x 1)(x 2)......(x n)

证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式

a0xn a1xn 1 ...... an 1x an 0 （1） （其中a0,a1,......,an K,a0 0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x K带入（1）式后使它变成等式，则称 为方程（1）在K中的一个根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n( 1)次代数方程在复数域C内必有一个根。

命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。

命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

f(x) a0 a1x ...... anxng(x) b0 b1x ...... bmxm

(an 0)， (bm 0)，

如果存在整整数l,l m,l n,及l 1个不同的复数 1, 2,......, l, l 1，使得

f( i) g( i)(i 1,2,......,l 1)，

则f(x) g(x)。

1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设f(x) a0x a1x

n

n 1

an，其中ai K,a0 0。设f(x) 0的复根为

，则 1, 2, , n（可能有重复）

n

1

f(x) (x i) (x 1)(x 2) (x n)a0i 1

xn ( 1 2 n)xn 1 1 2 n.

所以