2020-2021学年湘教版数学八年级下册1.4角平分线的(2)

4．验证。

方法一：根据角的对称性和折叠得出猜想

方法二：（见学案第4页报告单）

方法三：证明

证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：

第一步：根据题意，画出图形；

第二步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知，求证。 已知：如图，∠AOC =∠BOC ，点P 在OC 上， PD ⊥OA ，

PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E. 求证：PD=PE. 第三步：通过分析找出证明的途径，写出证明过程。

证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥ OB (已知)

∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)

在△PDO 和△PEO 中

∠PDO= ∠PEO （已证）

∠AOC= ∠BOC （已证）

OP=OP （公共边）

∴ △PDO ≌ △PEO （AAS ）

∴ PD=PE （全等三角形的对应边相等）

结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

几何语言：

∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB

∴ PD=PE （操作过程：先独立思考，再对子合作交流，再对子分工进行展示，

重点说明分析思路，并注意几何语言的书写）

（三）挑战第三关 快乐砸蛋

1.我来答：（加2分）

第一个敢回答问题的你，非常棒！恭喜你已经迈出了成功的第一步。

2.我来判

（1）∵ 如下左图6，AD 平分∠BAC （已知），

∴BD=CD （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 图4

图5

(2)∵ 如上右图， DC ⊥AC ，DB ⊥AB （已知）.

∴BD=CD （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

3.我来填

如图，AM 是∠BAC 的平分线，点P 在AM 上，

PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，PD=4cm ，

则PE=______cm

4．我来写 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等

这个定理的条件是什么？结论呢？

（操作过程：学生抢答，对所学知识进行巩固）

(四)挑战第四关 探索新知2

探究二：角平分线的性质定理的逆定理

问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？

已知：如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE.

求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线OP ， ∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB.

∴∠PDO =∠PEO =90°

在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，

OP=OP （公共边），

PD= PE （已知 ），

∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （ HL ）. ∴∠AOP =∠BOP

∴点P 在∠AOB 的平分线上.

结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

几何语言：

∵ PD ⊥OA,PE ⊥OB ，PD=PE.

∴点P 在∠AOB 的平分线上.

（操作过程：先独立思考，再对子合作交流，再对子分工进行展示， 重点说明分析思路，并注意几何语言的书写）

（五）挑战第五关 典例精析 1．已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，

且BD=CD,DE ⊥AB, DF ⊥AC.垂足分别为E,F.

求证：EB=FC.

图8 图8 F

E D B

C A 图11 图9 图10