关于三角形的“四心”与平面向量的结合学案(3)

ABC的__________.

(2)若点D是 ABC的底边BC上的中点,满足GD GB GD GC,则点G可能通过 ABC的__________.

ABAC 0 ,则点G可(3)若存在常数 ,满足MG MA ABsinBACsinC

能通过 ABC的__________.

ABAC

0 ,则点G可(4)若存在常数 ,满足MG MA

ABcosBACcosC

能通过 ABC的__________. 二、 综合运用

2.若O点是 ABC的外心, H点是 ABC的垂心, 且OH m(OA OB OC),求实数m的值. 练习：

举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为 ABC内任意一点，若P点满足:

ABAC

), 0 AP (

ABAC

1． P为ABC的内心;

BP t(BA BC)，t 0 BABC

2.D、E两点分别是 ABC的边BC、CA上的中点,且

DPPB DPPC

P为ABC的外心;

EPPC EPPA

1

AP (AB AC), 3

P为ABC的重心; 3.

1 BP (BA BC)， 3

APBC 0

P为ABC的垂心. 4.

BPAC 0

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

=

111 (+OB+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ） 322

A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点

1. B取AB边的中点M，则 2，由=

3 3 2，∴ 2，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且

11

(32

+

1

+2)可得2

3

点P不过重心，故选B.

2．在同一个平面上有 ABC及一点Ｏ满足关系式：

OA

2

＋

BC

2

＝

OBCAOC

＋

＝

222

＋

AB

2

，则Ｏ为 ABC的 （ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA PB PC（ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

0，则P为 ABC的

OP OA (AB AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心