倒向随机微分方程理论(3)

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

性”。而这时又转而想到一个完全不相关的问题，即前面提到的ＢＳＤＥ存在性问题，“这个问题是否有强制性”﹖躺在床上，用Ｉｔｏ公式心算了一下，忽然发现了问题的关键：长期以来人们总是在想方设法通过取期望消去的随机积分项，其实恰好就起到了强制项的作用。

想到这里，爬起来就找出纸和笔来验证，只花了几分钟，就利用这种强制性证明 解出了ＢＳＤＥ解的唯一性。我立刻感到这个问题已经可以解决了，剩下的任务就是要进行Ｐｉｃａｒｄ迭代，并再利用这强制性来证明解的存在性了而我对此很有信心这种信心也来自几年以前孙经先博士和我的一次闲聊 。

我感到很激动，当即打电话给住在复旦东招二楼的Ｐａｒｄｏｕｘ。他接电话后就问：“你知道现在才几点吗”﹖我说：“我知道，但我想我也知道怎样证明ＢＳＤＥ的存在唯一性方法了”他对我说了一句“Ｍｏｎｔｅ”上来吧。

Ｐａｒｄｏｕｘ理解了唯一性的证明后，觉得很有道理。我们就拿出笔和纸，讨论如何利用这种强制性来证明解的存在性。存在性的证明要麻烦一些，我们需要在Ｐｉｃａｒｄ迭代的一些技术细节上仔细地推导和验证，而Ｐａｒｄｏｕｘ当天上午还有学术报告以及其他活动，所以我们决定在这些活动结束以后再仔细讨论。这些活动结束以后已经是晚上，我对他说，我草算了一遍，存在性也是成立的，但还需要仔细地完整地写出来，以防证明有漏洞。

第二天上午，我就把这个ＢＳＤＥ的存在唯一性结果文章的第一稿原稿是用铅笔写的 给Ｐａｒｄｏｕｘ看。他仔细读完以后对我说，证明通得过并值得发表。但他接着说：“我对这个结果没有什么贡献，应该以你一个人的名义发表”。我这时对他谈起了他在上海城隍庙关于“Ｍａｌｌｉａｖｉｎ方程”的强制性的一番话对我想到ＢＳＤＥ的强制性的影响。

我解释得可能不太清楚，但他同意两人联名发表。我们商定由他执笔写第一稿的引言这是数学文章的特点：往往是先有文章的主体，最后再写引言部分 。然后由他带回法国写出修改稿并且负责打印。

一般而言，一个“好的数学方程”要具备两个条件，解的存在性和解的唯一性，其中解的存在性当然是第一重要的。但为什么我在解的唯一性成立后就信心十足了呢﹖这当然首先是因为我感觉到发现了ＢＳＤＥ的强制性结构，它可以被用来解决唯一性，也可以用来解决存在性。但是我觉得，多年以前我与孙经先博士一次谈话也起了很关键的作用。一次闲聊中说到他的本行（不动点问题）时他谈到了一个很有趣的结果，大意是：“如果一个方程的解已经被证明是存在唯一的，那么就能找到一个距离函数，而问题就是这个距离下的一个压缩映象的不动

点”。这番话使我对唯一性部分证明的份量产生了非常深刻的印象。此后养成一