导数及其应用测试卷(3)

导数及其应用测试卷

综上可知:a e

20.设函数f x x ln x 1 .证明：对任意的正整数n，不等式2 f 1 n 1 1

3 11成立. 33k 1 k 23n

（参考《数学通讯》（学生版），2011年11-12期，P97） 证明：f 1 1 1 k 1

k =k2 ln k 1 1

k2 lnk

n

f 1 1 ;l2

1 21 1 ;3

12n2 1n 1

k 1 k n 2 n， 下面只需证明：1k 111

k2 lnk k3,即证：k2 lnk 1k 1

k3 0即可.

构造函数g x x2 ln x 1 x3,则g' x 2x 1

x 1 3x2 3x2 x 1 2

x 1，

当x>1时，g' x 0 g x 在 0, 上单调递减.且g x g 0 0， 从而对 k N ,g 1

k 0.不等式得证.