第二讲证明不等式的基本方法(综合法与分析法

证明不等式的基本方法

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 ①作差法：a b a b 0,a b a b 0;

a a 当b 0时,a b 1,a b 1; ②作商法： b b

1、作差法作差变形

判断 (与？比较大小)

下结论

2、作商法作商 变形 判定 (与？比较大小) 下结论

例1、求证： x 3 3x2

例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b, 求 证 ： a m a b m b

例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b, 求 证 ： a b a b ab3 3 2 2

二、综合法与分析法综合法

从已知条件出发,利用定义、定理、公理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合 法.由叫顺 推证法或由因导果法 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

问题： 已知a、b、c > 0,且不全相等，求证 a(b + c )+ b(c + a )+ c(a + b ) > 6abc2 2 2 2 2 2

问题： 已知a1 ,a 2 , a n ∈R + ,且a1a 2 an = 1n

求证(1+ a1 )(1+ a 2 ) (1+ a n )≥ 2

利用综合法证明不等式 时, 应注意对已证 不等式的使用 , 常用的不等式有: (1)a 2 0; (2) a 0; (3)a 2 b 2 2ab; 它的变形形式又有 a b a b (a b) 4ab; 2 2 a b (4) ab; 它的变形形式又有 2 a b a b 2(ab 0); 2(ab 0) b a b a2 2 2 2

分析法

从要证的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至所需条件为已知条件或一 个成立的事实(定义、公理、定理、性质或 以证明的命题)从而得出要证的命题成立,这 种证明方法叫做分析法.

特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.Q P1P1 P2

P2 P3

…

得到一个明显 成立的结论

问题：求证 2 + 7 < 3 + 6

问题： a b +b c +c a 已知a、b、c > 0,求证 ≥ abc a+b+c2 2 2 2 2 2

综合法已知条件

分析法待证结论

由 因 导 果

定义、公理、 定理性质

推理、论证

执 果 索 因

充分条件定义、公理、 定理、性质

命题成立

明显事实

分析法利于思考，综合法宜于表达，

两者“联袂”,效果尤佳.

例4 若a,b,c 为互不相等的正数 , 且

abc=1,求证:

1 1 1 a + b+ c + + a b c

例5 若a>0,b>0,且a+b=1,求证:1 1 a+ + b+ 2 2 2

例6、设实数x, y, m, n满足：x y 3,2 2

m n 1, 求mx ny的最大值.2 2

小结 本节课你有什么收获？

作业布置 课本P25 1、第2题 2、第4题