立体几何易做易错题汇编(解答题)

确实都是很容易错的题目,希望对你们有帮助~

立体几何易做易错题汇编（解答题）

湖南 周友良

1. 由平面 外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，

求证：OP 。

错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以 POA＝ POB＝ POC＝RT ，所以OP 。 错解分析：上述解法中 POA＝ POB＝ POC＝RT ，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。 正

解

：

取

BC

的

中

点

D

，

连

PD

，

OD

，

PB PC,OB OC, BC PD,BC OD, BC 面POD, BC PO,同理AB PO， PO .

2. 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：

14 433

8[1 ( 1)] 8 ，除此之外，

8

3

3

在以正方体的棱为一条棱的12个1 1 4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为

[1 1 4

14

( 1) 4] 48 12 。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间

2

体积为：

(8

43

) 48 12 56

403

(cm)。

3

3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求： (1) cos(A1D,AM)；

(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；

(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.

解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)

A1D (0,8, 4) AM (5,2,4)

∵A1D AM 0 ∴cos A1D,AM 0

(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN， A1D 平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面所成的角即是 DAN. 易知 DAN AA1D arctan2

(3) ∵AA1 平面ABCD，A1N 平面AMN，