《机械控制工程基础》-5系统的稳定性

控制工程基础

5. 系统的稳定性5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 系统稳定的条件 稳定性的代数判据 稳定性的几何判据 系统的相对稳定性 根轨迹简介

一、基本要求 (1)了解系统稳定性的定义；系统稳定的条件。 (2)掌握Routh-Hurwitz判据的必要条件和充要 条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对 于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征 根的个数。 (3)掌握Nyquist判据。 (4)理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度 和幅值裕度。

二、本章重点 (1)Routh判据，Nyquist判据的应用。 (2)系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度的 求法及其在Nyquist图和Bode图上的表示法。 三、本章难点 1.Routh判据及其应用； 2.Nyquist判据及其应用。

控制工程基础 5. 控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一 个不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准 则，也称为系统的稳定性判据。 劳斯(Routh)-胡尔维茨(Hurwitz)判据:是依据闭环 系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数 判据。 奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上 (-1,j0)点之间的位臵关系对闭环系统的稳定性作出 判别，这是一种几何判据。 波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它 们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定 性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直 观,从而获得广泛采用。

控制工程基础 5.1 控制系统稳定性的基本概念5.1.1 稳定性概念控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应 能达到新的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出 能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。如图5-1(a)所 示，这样的系统就是稳定的系统。若系统承受的外界扰 动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位 臵，或发生不衰减的持续振荡。如图5-1(b)所示，这 样的系统就是不稳定系统。

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图5-1系统稳定性示意图 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输 入信号的形式无关。

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件设系统方块图如图5-2,其闭环传递函数为

X(s) + -

G(s) H(s)

Y(s)

图 5-2

系统的框图(5-1)

Y ( s) G( s) ( s) X ( s) 1 G( s) H ( s)

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件1+G(s)H(s)=0为闭环传递函数的特征方程式。 一般情况下，系统的闭环传递函数为Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 ...... b1s b.0 (s) X ( s ) an s n an 1s n 1 ...... a1s a0 K (s Zi )i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk n

k ) j 1 k 1 q r m

(5-2)

闭环系统的特征方程为2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) 0 j 1 k 1 q r

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件对于

(s p ) 0j j 1

q

求极点。

s1 p1 ; s2 p2 ; s j p j ;对于

(sk 1

r

2

2 k nk s ) 02 nk

根据情况不同，解不同，但实部都为 nk

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件

为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r 对不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数X(s)=1时， 输出的拉氏变换式为 q r Aj Bk s C k Y ( s) 2 2 ( 5-3 ) s p s 2 s j 1 k 1 j k nk nk 上式的拉氏反变换为

y (t ) A j ej 1

q

p jt

Bk e k nkt cos dk tk 1

r

k 1

r

Ck k nk Bk

dk

e k nkt sin dk t (5-4)

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件从上式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面 内，即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t 的增大，方程(5-4)式中的指数项和阻尼指数项将趋近于 零。即系统是稳定的。 系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实部。 或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面的左半平 面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不稳定。 设系统闭环传递函数为

Y ( s) bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b.0 ( s) X ( s) a n s n a n 1 s n 1 ...... a1 s a0

则系统的特征方程为

an s n an-1s n-1 a1s a0 0

(5-5)

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件k 例如某单位反馈系统的开环传递函数 G ( s ) s (Ts 1) 则系统的闭环传递函数 G( s) k ( s) 2 1 G ( s ) Ts s k

特征方程式为 特征根

Ts 2 s k 0s1, 2 1 1 4Tk 2T

因为特征方程根具有负实部，该闭环系统稳定。

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5.1.2 系统稳定的条件综上可见： 特征根中只要有一个是正实根，则式(5-4) 的解就发散， 系统就不稳定； 当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(5-4)解呈发散 振荡，故系统不稳定； 若特征根中有零根，则式(5-4)全解中的瞬态分量将趋于 某个常值，故系统也不稳定； 若特征根中含有共轭虚根，则式(5-4)的解呈等幅振荡， 这时系统出现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中， 系统的参数值往往要发生变化，因此共轭虚根有可能转 变成具有正实部的共轭复根，而使系统不稳定。所以， 从控制工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的 实际不不稳定工作状态。 当特征根中没有零根，没有共轭

虚根，并且所有实根都 是复的，共轭复根具有负实部时，式(5-4)的解是指数衰 减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。

控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件由上述分析可以得出如下结论： 线性定常系统稳定的必要和充分条件：是它的特征方程的 所有根必须是负实数或具有负的实数部分。 因为系统的特征根就是系统的极点，故线性定常系统 稳定的必要和充分条件就是它的全部极点必须位于复平面 的左半部分。

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5.2 劳斯-胡尔维茨稳定判据判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部 具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴 左侧。这样就面临着两种选择； 1. 解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。 2. 讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个 右根。 代数稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来 判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分 布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。

控制工程基础 5.2.1 胡尔维茨稳定判据

设系统的特征方程式为

1 G( s) H ( s) an s n an-1s n-1 a1s a0 0(1)则系统稳定的必要条件是： 1 .特征方程的各项系数 an , an-1 , , a1 , a0 均不为零。 2. 特征方程的各项系数符号一致。 以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。

控制工程基础 5.2.1 胡尔维茨稳定判据

胡尔维茨稳定判据：对于n n -1

1 G( s) H ( s) an s an-1s

a1s a0 0

式中an 0 。则系统稳定的充要条件是： (1)特征方程的各项系数 an , an-1 , , a1 , a0 均为正。 (2)各项系数组成的胡尔维茨n阶行列式中各阶子行列 式 1 , 2 , , n 都大于零。 满足该条件的系统稳定，否则不稳定。

控制工程基础 5.2.1 胡尔维茨稳定判据

胡尔维茨行列式：对于

1 G( s) H ( s) an s n an-1s n-1 a1s a0 0

控制工程基础 5.2.2 劳斯稳定判据 (1)劳斯稳定判据的必要条件设系统的特征方程式为

1 G( s) H ( s) an s n an-1s n-1 a1s a0 0则系统稳定的必要条件是： 1 .特征方程的各项系数 an , an-1 , , a1 , a0 均不为零。 2. 特征方程的各项系数符号一致。 以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。

控制工程基础 (2)劳斯稳定判据的充要条件

特征方程系数的劳斯阵列如下：

sn s n-1 s n-2 s n-3 s s1 0

an an-1 b1 c1 d1 e1

an - 2 an - 3 b2 c2

an - 4 an - 5 b3

an - 6 an - 7

控制工程基础 (2)劳斯稳定判据的充要条件

在上面的劳斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：

an 1an 2 an an 3 b1 an 1

an 1an 4 an an 5 b2 an 1 an 1an 6 an an 7 b3 an 1

b1an 3 an 1b2 c1 b1 b1an 5 an 1b3 c2 b1 b1an 7 an 1b4 c3 b1(5-6)