26.1.2二次函数图像与性质(第1课时)

2 26.1.2二次函数y=ax 的图象

y x2

8

y 2 x2

64 2 -4 -2 2y 1 2 x 2

4

二次函数的定义: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变 量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一 次项系数和常数项.

直线 ，反比例函数的图象是________. 双曲线 (1) 一次函数的图象是一条_____

(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线

(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？

结合图象讨论 性质是数形结合 的研究函数的重要 方法.我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质.

画最简单的二次函数 y = x2 的图象1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x · · · -3 -2 -1 0 1 2 3 · · ·

y = x2

· · ·

9

4

1

0

1

4

9

· · ·

2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y) 3.连线 如图，再用平滑曲线顺次 连接各点，就得到y = x2 的图 象. 9

y=x2

63 -3 3

二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 , 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下. 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + cy = x2

9

63 -3 3

看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点.实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.

1 2 y x , y 2 x 2 的图象. 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图

x

· · · -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

· · · · · ·· · · · · ·

1 2 · · y x · 2x

8 8

4.5-1.5

2 0.5-1

0

0.50 0.52

21

4.51.5

82

y 2 x2

· · -2 · · · ·

-0.5

4.5y x2

286 4 2

0.5

0

0.5 2 4.5 8

y 2x

1 2 y x 22 4

-4

-2

1 2 y x , y 2x2 2 有什么共同点和不同点？函数相同点：开口：向上，

的图象与函数 y=x2

的图象相比，

顶点：原点(0,0)——最低点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小y 轴右侧，y随x增大而增大

y x2

8 6

y 2 x2

4不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小. 2 -4 -2 2

y 4

1 2 x 2

探究画出函数线有什么共同点和不同点.

1 y x 2 , y x 2 , y 2 x 2 2

的图象，并考虑这些抛物

x

· · · -4

-3 -4.5

-2

-1

0 0

1 -0.5 0.5

2

3

4 -8 2

· · · · · · · · · · · ·

1 2· · y x · -8 2x

-2 -0.5

-2 -4.5 1 1.5

· · -2 -1.5 -1 -0.5 0 y 2 x 2 · -8 -4.5 -2 -0.5 0 · · · 你画出的图象与图中相同吗？

-0.5 -2 -4.5 -8

请找出相同点与不同点：

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

1 y x2 2

y x2

-8

y 2 x 2

二次函数:

y=ax2 +bx + c (a 0)

二次函数的图象:一条抛物线

a 来决定. 抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____ y=0.5x2当a的绝对值相等时,其形状 完全相同,当a的绝对值越大, 则开口越小,反之成立.y= - 0.5x2 y= - x2

0

根据左边已画好的函数图象填空：y

抛物线y= -2x2的顶点坐标是 (0,0) , 对称轴是 直线x=0 ,x Y轴左 在

0

< 时, 侧，即x_____0 > 时, 侧，即x_____0

y随着x的增大而增大； 在 Y轴右

y随着x的增大而减小.

y= -2x2

当x= 0

时,y<0 当x____0

0 时，函数y最大值是____.

根据左边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 (0,0) ,y

y= 2x2 对称轴是直线x=0, < 时, 在 Y轴左 侧，即x_____0y随着x的增大而减少； 在 Y轴右x

> 时, 侧，即x_____0

0

y随着x的增大而增大.当x=

0

0 时，函数y最小值是____.

当x____0 时,y>0

1. 二次函数的图像都是抛物线.2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小;y

a>0

o

x

a<0

请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。 开口 y=ax2 顶点 对称轴 方向 (0,0) y轴 y轴 左侧 右侧

图象

a>0 最低点(0,0) a<0 最高点

y轴

向上

x y x y 增 减 增增 大 小 大大 x y x y 增 增 增减 大 大 大小

y轴

向下

|a|越大,抛物线的开口越小;

1、函数y=2x2的图象的开口 轴 ,轴 顶点是 ; (0,0) y

向上 ,对称

2、函数y=-3x2的图象的开口 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;

向下 ,对称

已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开 口向上,求m的值和函数解析式

m2+m

解: 依题意有:

m+1>0 ① m2+m=2 ②

解②得:m1=-2, m2=1 由①得:m>-1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,