建筑力学20-位移法一

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第十五章 位移法1,掌握位移法的概念， 2,掌握位移法的基本未知数和基本结构， 3,熟悉单跨静定梁的形常数和载常数， 4,熟练掌握位移法的典型方程，并能进行简 单结构的计算。

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15.1 等截面直杆的转角位移方程位移法与力法的主要区别，在于基本未 知量和分析问题时所采取的基本结构不同。 力法是取结构中多余约束的力即多余未 知力作为基本未知量，按位移条件建立力法 方程将它们求得后，即可据以求出结构的其 它内力和位移。 位移法是把结构的某些位移作为基本未 知量，先设法求出它们，再据以求出结构的 内力和其它位移。

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位移法是以结点位移(线位移和角位移) 作为基本未知量，以单跨梁系作为基本结构 的。结构的结点位移对于基本结构中的单跨 梁来说是杆端位移，分布在结构上的荷载表 现为单跨梁的荷载。 在位移法计算过程中，需要建立各等截 面直杆的杆端力(杆端弯矩和杆端剪力)与杆 端位移、杆上荷载的关系式，通常称这种关 系式为转角位移方程。

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图15.1(a)所示刚架结构在荷载作用下，截取杆件 AB如图15.1(b)所示，用MAB和MBA表示杆端弯矩，QAB 和QBA表示杆端剪力。 杆端弯矩正负号规定为：对杆端而言，杆端弯矩 以顺时针转向为正；对结点或支座而言，则以逆时针 转向为正(图15.1(c))。图中所画的杆端弯矩都是正的。

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图15.1

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图15.2(a)所示两端固定梁AB,A、B端分别发生转 角φA、φB,两端产生垂直于梁轴的相对侧移 ,其中 AB′与水平方向的夹角称为弦转角，用φAB或φBA表示。 以上各种位移的正、负号规定为：杆端转角φA、 φB以及弦转角都以顺时针转角为正；线位移 的正、负 号应与弦转角φAB一致，即右端下沉、左端上升为正。 φ 图15.2中所画各种位移均为正。 为区别杆端位移产生的杆端力，我们把荷载在梁 上产生的杆端弯矩、杆端剪力称为固端弯矩、固端剪 力，并以MF、QF表示。

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图15.2

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15.1.1 两端固定梁的转角位移方程对于图15.2(a)所示两端固定梁： (1) 由于A端转角φA引起的杆端力为 MAB′=4iφA MBA′=2iφA QAB′=-(6i/l)φA QBA′=-(6i/l)φA (2) 由于B端转角φB引起的杆端力为 B φ MAB″=2iφB MBA″=4iφB QAB″=-(6i/l)φB QBA″=-(6i/l)φB

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(3) 由于两端相对侧移 引起的杆端力为 MAB=-(6i/l) MBA=-(6i/l)  QAB=(12i/l2) QBA=(12i/l2)  (4) 如果有荷载作用，其固端弯矩、固端剪力为 MFAB、MFBA和QFAB、QFBA,根据叠加原理，将以上所 得叠加有 MAB=4iφA+2iφB-(6i/l) +MFAB MBA=2iφA+4iφB-(6i/l) +MFBA

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15.1.2 一 端固定另端铰支梁的转角位移方程对于一端固定另端铰支梁(图15.2(b)), 用上述同样方法可得 MAB=3iφA-(3i/l) +

MFAB MBA=0

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15.1.3 一 端固定另端定向支承梁的转 角位移方程对于一端固定另端定向支承梁(15.2(c)), 其转角位移方程为 MAB=iφA+MFAB MBA=-iφA+MFBA

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15.2 位移法基本结构的确定位移法的基本结构是单跨梁系。 如图15.3(a)所示刚架，在荷载作用下结构发生了 变形，结点C、D发生了转动和移动。 为了阻止结点移动，在结点D(或结点C)上加一附 加支杆(其作用是阻止结点线位移而不限制结点转动), 如图15.3(b)所示。 在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点(包括组合 结点),都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚 臂，故只需清点刚结点的数目。

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图15.3

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例如图15.4(a)所示刚架，可得如图15.4(b)所示铰 结体系，该体系需增加两根支杆(图15.4(c)、(d))才能组 成几何不变体系。原结构加上这两个支杆后各结点就 不能移动了(图15.4(e))。再在各刚结点上附加刚臂后 (图15.4(f))就形成单跨梁系的基本结构了。 为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结 点都变成不动结点。如图15.5(a)所示结构中，对联结 CD与DE杆而言，结点D为刚结点，也有转角位移。又 如图15.5(b)所示结构中，EF附属部分为一静定简支梁。

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图15.4

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图15.5

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【例15.1】确定图15.6(a)所示结构的位移法基 本结构。 【解】在结点F加一个附加支杆(图15.6(b)),这 时结点F不能移动。F、B二结点不移动，结点 E也就不移动了。E、A二结点不移动，结点D 也就不移动了。 可见，只要加一个支杆，一排结点就都不 移动了，不管梁是水平的，还是斜的。 在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。 位移法基本结构如图15.6(b)所示。

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图15.6

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【例15.2】确定图15.7(a)所示结构的位移法基 本结构。 【解】化为铰结体系(未画出)不难看出，需加 入两根附加支杆才能使其形成几何不变体系。 在刚结点B、C、D处加入三个附加刚臂。  位移法基本结构如图15.7(b)所示。

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图15.7

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【例15.3】确定图15.8(a)所示结构的位移法基 本结构。 【解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算， 应将变截面处取为一个结点。 铰结体系如图15.8(b)所示，容易看出结点 C能上下移动，需加入一附加支杆(图15.8(c))。 此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。  位移法基本结构如图15.8(d)所示。