5.1总体平均数与方差的估计

本章内容 第5章

用样本推断总体

本课内容 本节内容 5.1

总体平均数与 方差的估计

议一议阅读下面的报道，回答问题.

议一议

从上述报道可见，北京市统计局进行2012年度

人口调查采用的是什么调查方式？

我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中 每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总 体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样 本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样 本的某些特性去推断总体的相应特性.

从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析， 去推断总体的情况，这是统计的基本思想.用样本 平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体 方差就是这一思想的一个体现.实践和理论都表明：

对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的.

说一说(1)如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料 袋个数？ (2)在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计 哪种棉花的纤维长度比较整齐？可以进行简单随机抽样， 然后用样本去推断总体.

由于简单随机样本客观地反映了实际情况， 能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的 平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 例如，我们可以从某城市所有家庭中随机抽取 一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋 个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均 值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑 料袋个数.

同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽 取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的 方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉花 纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性 较好.

动脑筋

某农科院在某地区选择了自然条件相同的 两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两 个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水 稻在该地区更有推广价值呢？

为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻 的平均产量及产量的稳定性(即方差).于是，待水稻 成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录 它们的亩产量(样本),数据如下表所示：

种 类 甲 乙 865 870 885 875 886 884

每亩水稻的产量(kg) 876 885 893 886 885 888 870 882 905 890 890 895 895 896

可以求出，这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量分 别为：1 x (865 885 886 876 893 885 870 905 890 895 ) =885(kg); 甲 101 x乙 (870 875 884 885 886 888 882 890 895 896) =885.1(kg). 10

由于这10亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这 10 亩水稻的平均产量去估计这两

种水稻大面积种植

后的平均产量.

由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小， 从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平 均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角 度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值. 因此，我们还需考虑这两种水稻产量的稳定性.

利用计算器，我们可计算出这10亩甲、乙品种

水稻产量的方差分别为129.6,59.09.由于59.09<129.6,2 2 即 s乙 s甲 ，因此我们可以估计种植乙种水稻的产

量要比种植甲种水稻的产量稳定.从而我们可以得出： 在该地区，种植乙种水稻更有推广价值.

例 一台机床生产一种直径为40mm的圆柱形零 件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应 不超过0.01.如果超过0.01,则机床应检修调整.下表是某日8:30—9:30及10:00—11:00两个时段 中各随机抽取10个零件量出的直径的数值(单位：mm):8:30—9:30 10:00—11:00 40 40 39.8 40 40.1 39.9 40.2 40 39.8 39.9 40.1 40.2 40.2 40 40.2 40.1 39.8 40 39.8 39.9

试判断在这两个时段内机床生产是否正常.

8:30—9:30 10:00—11:00

4040

39.840

40.139.9

40.240

39.839.9

40.140.2

40.240

40.240.1

39.840

39.839.9

解

在8:30~9:30这段时间内生产的零件中， 随机抽取的10个零件的直径的平均数 x1 、 2 s 方差 1 分别为：

x1 (40 39.8 4 40.1 2 40.2 3) 10 40.2 2 2 2 ( 40 40 )( + 39.8 40 ) 4 + ( 40.1 40 ) 2 + ( 40.2 40 ) 3 = 0.03. s1 = 10 2

8:30—9:3010:00—11:00

40 40

39.8 40

40.1 39.9

40.2 40

39.8 39.9

40.1 40.2

40.2 40

40.2 40.1

39.8 40

39.8 39.9

在10:00~11:00这段时间内生产的零件中， 随机抽取的10个零件的直径的平均数 x2 、 方差 s2 2 分别为：

x2 (5 40 39.9 3 40.2 40.1) 10 40.2 2 2 2 ( 40 40 )( + 39.9 40 ) 4 + ( 40.2 40 ) 2 + ( 40.1 40 ) 3 = 0.008. s2 = 10 2

由于随机抽取的8:30~9:30这段时间内生产的 10个零件的直径的方差为0.03,远远超过0.01的界 限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产 不正常. 类似地，我们可以推断在10:00~11:00这

段时间内该机床生产正常.

练习1. 小明为了估计自己从起床至到达教室所需的平均时间， 他随机记录了自己20天每天从起床至到达教室所需的 时间，得到下表：时间(min) 天数(天) 45 2 46 1 47 1 48 2 49 4 50 5 51 3 52 1 53 1

试据此估计小明从起床至到达教室所需的平均时间.

时间(min)天数(天)

45

46

47

48

49

50

51

52

53

2

1

1

2

4

5

3

1

1

解

t =(45×2+46×1+47×1+48×2+49×4+50×5+51×3+52×1+53×1)÷ 20 = 49.15 (min)

答：小明从起床至到达教室所需的平均时间 为49.15 分钟.