定积分不等式证明方法的研究

高校论坛２０１１年第５期 102定积分不等式证明方法的研究张 瑞（宝鸡文理学院 数学系） 摘 要 通过若干范例总结有关定积分不等式的证明方法及规律。主要有定积分的定义、泰勒公式、积分中值定理以及辅助函数 法等方法。 关键词 定积分 积分性质 中值定理 含定积分的不等式的证明是数学分析学习中的一个重点也是一个 难点，一般可以利用定积分的性质、积分中值定理、辅助函数等方法 来证明定积分不等式。证明方法多种多样，本文归纳并列举了几种定 积分不等式的证明方法，主要有利用定积分的定义、泰勒公式、积分 中值定理以及辅助函数法等方法。 １ 利用定积分的定义 主要是利用定积分的定义，将闭区间 通过分割、求和、并 时和的极限，比较积分大小则可通过比较和的极限来实 例１ 证明： 在 上连续，且 ， 。 分析：题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定 义将区间分割求极限比较简单。 证明：将 等分，可得分割 ， 取 ，并记 ，则 由于 ， ， 当且仅当 号成立。 由于 因而 等号成立。 ２ 利用定积分的性质 分析：由预证不等式中被积函数 式。 证明：由柯西不等式知 与 联想到柯西不等 可积，故令 ，即函数 得 ， 为常值函数时，上式等 ， 为常值函数时，上式 ４ 故 利用积分中值定理 。 因 所以 对两边同时积分得： 。 ， ， 式来证明。 例３ 设在上有二阶导数，且。求证：分析 已知 用在 点处函数有二阶导数，要证明的式子中出现了，利的一阶泰勒展开是个比较简单的方法。 点处展开成带有拉格朗日余项的一阶证明：将 泰勒公式在求当 现。积分的三个中值定理，在证明积分不等式中有着举足轻重的作 用。 例４ 设 在 上连续且单调增加， ，证明：可通过利用定积分的基本性质、比较性、估值不等式、绝对值不 等式进行处理。 例２ 证明施瓦兹不等式：若 和 在 上可积，则， 于是分析：只是已知两个函数都可积，没有别的附加条件，而要证的 却有关积分平方和积分乘积，这种条件下，可以考虑利用定积分的基 本性质来证明。 证明：若 和 可积，则 ， ， 均可积， 且对任意实数ｔ，有 也可积。 又 所以 即 。 又 即 故而 ３ 利用泰勒公式 如果函数 的二阶和二阶以上导数存在且有界可利用泰勒公 。 ，故要使上式对任意ｔ恒成立，则判别式 ， ５ ， ，， 对于 由积分中值定理，必存在 ， ，使得由的单调增加，有，即 。即 。 构造辅助函数法当已知被积函数连续，并没有告知可导时，通常用此法最为方 便，主要利用辅助函数的单调性证明。辅助函数的做法只需将结论中 的积分上（下）限换成变量 ，移项使不等式一端为 （转１１９页）基金项目：河南省科技厅自然科学基金项目（Ｎｏ．２０１０Ａ１１００１１）；宝鸡文理学院重点项目（ＺＫ１０１１４）