椭圆知识点总结(3)

椭圆性质与常见题型

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e

c

(0 e 1)，因为c2 a2 b2，a c 0，a

用a、b表示为e ()(0 e 1)。 显然：当于圆。

ba

2

bb

越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0 e 1)越小，椭圆形状越趋近aa

1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 （2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e2、椭圆的标准方程

3、椭圆的参数方程

4、离心率:

x acos

( 为参数)

y bsin

c

e 0 e a椭圆的准线方程

a2a2

左准线l1:x 右准线l2:x

cc

椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）r1 a ex0 （右焦半径）r2 a ex0 其中e焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

MF1 a ey0

（ 其中F1,F2

MF a ey20

1、弦长公式：

若直线l:y kx b与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则 弦长AB

(x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2 (kx1 kx2)2 k2x1 x2

(x1 x2)2 4x1x2

2

k

椭圆性质与常见题型

例1. 已知椭圆及直线y＝x＋m。

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

x2y2

2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，

abb2x0

则AB的斜率为－2运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，

ay0

B(x，y)．A、B都在椭圆上，∴ x y

ab＝1，

2

2

2

22222x1 y1

＝1，a2b2

两式相减得

2222x1 －x y1 －y x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y222

＋＝0，∴＋＝0， 222

abab2

y1－y2b2x1＋x2b2x0b2x0即＝－2＝－2故kAB＝－2x1－x2ay1＋y2ay0ay0

x2y2

1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 例、过椭圆

164

（四）

x2y2

1内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求｜PA｜1：已知椭圆C：

2516

5

+｜PF｜的最小值。 3

x2y2

1内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF|的2： 已知椭圆

2516

最大值与最小值。

x2y2

1外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，3：已知椭圆

25163

求|PA|+d的最小值。

5