第18讲 能被2、5整除的数的特征(教师版)(2)

(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9。

(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知1×3×5×7×9×11×13×15为奇数。因为14为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。

由例2得出：

(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。

(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。

例3：在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？

解：根据奇偶数的运算性质知：第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；

第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积奇数×奇数×偶数=偶数。 故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。

2. 能被5整除的数的特征

由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。 由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。 因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。

例4：由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？

解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。

例5：下面的连乘积中，末尾有多少个0？

1×2×3×…×29×30。

解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，