第6章 弯曲变形 (材料力学)

学习材料力学必备课件

作者：王吉民

2010年8月

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(Deflection of Beams)

梁的位移——挠度和转角 §6-1 梁的位移 挠度和转角 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求梁的位移 §6-4* 用奇异函数法求解梁的位移 §6-5 用叠加法求梁的位移 §6-6 梁内的弯曲应变能 §6-7 简单超静定梁 §6-8 梁的刚度条件与合理刚度设计

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§6-1 梁的位移——挠度和转角 梁的位移——挠度和转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的： 对梁作刚度校核； 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程); 解超静定梁(变形几何条件提供补充方程) ③施工中起拱。 施工中起拱。

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弯曲变形的描述回顾： 拉压杆的变形： 回顾： 拉压杆的变形：伸长或缩短 ( l) )b

F

b1

F

l l1

圆轴扭转的变形： 圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角 )

问题： 问题：

弯曲变形怎样描述？ 弯曲变形怎样描述？

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(Deflection of Beams) 一、弯曲变形的特点C v y C1

θ

P x

轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲线， 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲线， 挠曲线 挠曲线是一条连续、 挠曲线是一条连续、光滑曲线 一条连续 对称弯曲时， 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁， 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面， 因而横截面仍保持平面，并与挠曲线正交

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(Deflection of Beams) 二、弯曲变形的描述(度量梁变形的两个基本位移量) 弯曲变形的描述(度量梁变形的两个基本位移量)挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 表示。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 表示 同向为正， 与y同向为正，反之为负。 同向为正 反之为负。 P θ 转角： 2. 转角 ： 横截面绕其中性轴转 C x 动的角度。 表示， 动的角度。 用θ 表示， 顺时针 v 转动为正，反之为负。 转动为正，反之为负。 C1 y 3、轴向位移可忽略 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 (1) 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v=f (x) 其方程为： 忽略剪切变形， (2) 忽略剪切变形 ， 且 梁的转角一般较小： 梁的转角一般较小：tanθ = dv dx小变形

θ = v′

(1)

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§6-2

梁的挠曲线的微分方程

请考虑推导思路) 方程推导(请考虑推导思路) 中性层曲率表示的弯曲变形公式M = (纯弯 纯弯) 纯弯 ρ EI 1

1 M ( x) (推广到非纯弯 推广到非纯弯) = 推广到非纯弯 EI ρ ( x)

由高等数学知识

1

v′′( x) =± ρ ( x) 1 + [v′( x)]2

(

)

32

挠曲轴微分方程

(1+[v′(x)] )

v′′(x)

2 32

M(x) =± EI

—— 二阶非线性常微分方程

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(Deflection of Beams)M>0 x

v′′ < 0y

(1 + [v ′( x )] )方程简化

v ′′( x )

2 3 2

M (x ) =± EI

小变形时： v′2 << 1 小变形时： 小变形时 M<0 yv ′′ > 0

x 坐标系： 坐标系：v 向下为正

d 2v M ( x) =± 2 EI dx

正负号确定: 正负号确定: 正负号确定 方程取负号 弯矩: 挠曲线下凹,弯矩M为正 弯矩 挠曲线下凹,弯矩M d 2v M(x) = 就是挠曲线近似微分方程。 就是挠曲线近似微分方程。 2 EI dx 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响; (2) 略去了 w′2项; 略去了剪力的影响; (3) θ ≈ tanθ = w′ = w′( x)

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(Deflection of Beams)由上式进行积分，再利用边界条件( condition) 由上式进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。 和连续条件(continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁 横截面的转角和挠度。 横截面的转角和挠度。

5.讨论： 讨论： 讨论① 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、 确定。 件)确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； ④ 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 ⑤ 缺点：计算较繁。

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§6-3

用积分法求梁的位移d 2v M ( x) = EI dx 2

挠曲线的近似微分方程为： 挠曲线的近似微分方程为：

积分一次得转角方程为： 积分一次得转角方程为：

dv ( x ) M ( x) θ ( x) = = ∫ dx + C dx EI再积分一次得挠度方程为： 再积分一次得挠度方程为： M ( x) v( x) = ∫ ∫ dx dx + Cx + D EI

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(Deflection of Beams)由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件 光滑连续条件

A~

A~~

A~

vA = 0

vA = 0 θA = 0

vA =

- 弹簧变形 θAL =θAR

vAL = vAR

vAL = vAR

~

A

A

A

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讨论：如果取y轴为向上为正，则上述两式右端改为正号。 如果取 轴为向上为正，则上述两式右端改为正号。 轴为向上为正 还应指出，由于x轴的方向既不影响弯矩的正负号 轴的方向既不影响弯矩的正负号， 还应指出，由于 轴的方向既不影响弯矩的正负号，也不 正负号，故上式同样适用于x轴向左的坐标系 轴向左的坐标系。

影响的 正负号，故上式同样适用于 轴向左的坐标系。但 左坐标与右坐标对转角的符号有影响。 左坐标与右坐标对转角的符号有影响。 v ′′ 右坐标：为正时为顺时针，为负时为逆时针； 右坐标：为正时为顺时针，为负时为逆时针； 左坐标：为正时为逆时针，为负时为顺时针。 左坐标：为正时为逆时针，为负时为顺时针。 由于杆件同一处的转角一定， 由于杆件同一处的转角一定，所以当采用左右不同坐 标系时，其数值相等，符号相反。 标系时，其数值相等，符号相反。

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(Deflection of Beams)例6-1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 P 解： L 建立坐标系并写出弯矩方程M ( x) = P ( x L)

x y 应用位移边界条件求积分常数 应用位移边界条件求积分常数1 3 EIv(0) = PL + C 2 = 0 6EIθ (0) = EIv ′(0) = 1 2 PL + C1 = 0 2

写出微分方程的积分并积分 写出微分方程的积分并积分

EIv ′′ = M ( x ) = P ( L x)1 EIv′ = P ( L x) 2 + C1 21 EIv = P ( L x) 3 + C1 x + C 2 6

1 2 1 3 ∴ C1 = PL ; C2 = PL 2 6

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(Deflection of Beams)P 写出弹性曲线方程并画出曲线 L x

y( x) =

P ( L x)3 + 3L2 x L3 6EI

[

]

y

最大挠度及最大转角

θ max

PL2 = θ ( L) = 2 EIPL3 = f ( L) = 3EI

f max

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(Deflection of Beams)【例6.2】 图示为一简支梁，试求在满跨均布荷载作用下的 】 图示为一简支梁， 挠曲线方程和转角方程。 挠曲线方程和转角方程。x q x A

θAl 2

C vmax

θB

B

l y

积分得： 积分得： ql 3 ql 2 ' EIv = x x + C 4 4 q 4 ql 3 EIv = x x + Cx + D 24 12

解：首先列出梁的弯矩方程： 首先列出梁的弯矩方程：

M =

ql q 2 x x 2 2

边界条件： 边界条件：

X=0 v=0 X=L v=0

然后写出挠曲线近似微分方程： 然后写出挠曲线近似微分方程：

EIv

''

q 2 ql = M = x x 2 2

c=

ql 3 24

D=0

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(Deflection of Beams) 例6-2 讨论均布荷载梁的变形ql 3 ql 2 ql EIv = x x + 4 4 24' 3

q 4 ql 3 ql 3 EIv = x x + x 24 12 24

q θ = v′ = l 3 6lx 2 + 4 x 3 24EI 24 EI

(

)

qx 3 v= l 2lx 2 + x 3 24 EI

(

)

ql3 θmax = θ A = θB = 24EI

f max

5ql = vc = 384 EI

4

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例题 6.3

求图示简支梁在集中荷载F的作用下(F力在右半跨) 求图示简支梁在集中荷载F的作用下( 力在右半跨) (Deflection of Beams) 的最大挠度。 的最大挠度。F

AFb L

aC

bB

x

M1( x) =

Fb x L

0≤ x ≤a

l

M2 ( x) =Fa L

Fb x F( x a) L a≤x≤L

x xCB段 CB

AC段

y

Fb 2 1 6L 2 EIzθ2′′= M xx) = Fb a)F+x a) + F(x x + ( C2 EIzω2 = 2L2 ( 2 D =0 x = 0 1 ω(0) = 0 x = L ω(L) = 0 L Fb 3 1 3 EIzω2 = x + F(x a) + C2 x + D2 C=θ2 (a a1 = ω2 x = a ω1(D) = D2 (a) θ1(a) 1 = C2 ) 6L 6 Fb 3 1 2 2 Fb 3 ω(L) = FbFb F(L a)3 + C23L = 0 EIZ C = C = L + 2

b21 L6 3 + F(a a2) + C2a + D2 EI θ = Fb x2 + Fb L b Fb+ 1 1a +2 1 L Fb 2a 1 a C D = 6 3 z 1 F 6 L a + C1 = L6L + 6 (a a) + C2 6 a 2L 6L 2L 2L 2 2 2 Fb 2 1 Fb(L b ) 2 EIzθ2 = x + F( x a) + Fb 3 Fb L2 b2 x EIzω1 = x + 2L 2 6L 6L 6L 2 2 Fb 3 1 Fb(L b ) 3 EIzω2 = x + F( x a) + x 6L 6 6L

Fb θ1 = x + C EI1′ = M1( x) =2 Fb1x ′ EIzωz 2L L Fb 3 EIzω1 = x + C1x + D 1

(

)

(

)

(

)

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例题 6.3

求图示简支梁在集中荷载F的作用下(F力在右半跨)的最大挠度。F

(Deflection of Beams)bBC

AFb L

a

l

x x最大转角Fb L b θA = 6EIz L2

Fb 3 Fb L2 b2 EIzω1 = x + x 6L 6L Fa Fb 2 1 Fb L2 b2 2 L EIzθ2 = x + F(x a) + 2L 2 6L

x

Fb 2 Fb L2 b2 EIzθ1 = x + 2L 6L

(

))

(

)

(

y

(

ω′′ = 02

) = Fab(L +b )6EIz L

M( x) = 0

x =0 x = L

Fb 3 1 Fb L2 b2 3 EIzω2 = x + F(x a) + x 6L 6 6L

(

)

Fb 2 Fab L + a2 Fb L2 b2 = +1 EIzθB = θB L F(L a) + 2L 2 6EIz L 6L

(

)

(

)

最大挠度 ω′ = 0

令x=a

力靠近哪个支座，哪边的转角最大。θC = Fab(a b) 3L2

Fb 2 Fb L2 b2 EIzθC = a + 2L 6LFb 2 Fb L2 b2 x0 + =0 2L 6L

(

)

转角为零的点在AC段1 b= L 21 x0 = L 2x0 = 3 L= 0.577L 3

(

)

x0 =

L b 32

一般认为梁的最大挠度就发生在跨中

b →0

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(Deflection of Beams)例题 6.4

用积分法求图示各梁挠曲线方程时, 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段; 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数, 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC. 挠曲线方程应分两段 共有四个积分常数

qAl2y

B

EIz

C

x

边界条件

kl2

x =0 x=LL x= 2

ωA = 0

Fc qL ωC = = k 8k

连续条件

ωB1 = ωB2

θB1 =θB2

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(Deflection of Beams)例题 6.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时, 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段; 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数, 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC. 挠曲线方程应分两段

FEI z1 EI z 2B

共有四个积分常数 x 边界条件

AL 2 L 2

C

x =0连续条件

ωA = 0

θA = 0L x= 2

y

ωB1 = ωB2

θB1 =θB2

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(Deflection of Beams)例题 6.6

用积分法求图示各梁挠曲线方程时, 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段; 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数, 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件全梁仅一个挠曲线方程 共有两个积分常数L1

q A

C EA

边界条件 xB

x =0 x=L

ωA = 0

EI Z

L

y

qLL1 ωB = LBC = 2EA