08-09微积分(上)期末考试章乃器学院试卷(附答案(3)

3、设 y ln

12

1 x

, 求 y (0) .

arccosx

解：y [ln(1 x) ln(arccosx)] y'(x)

1111

; y'(0)

22x 22arccosx x2

4、求 sin5xdx.

解： sinxdx (1 cosx)d(cosx) (1 t2)2dt

2121

(1 2t2 t4)dt t t3 t5 C = cosx cos3x cos5x C

3535

5

2

2

t cosx

四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)

2

1、设方程 siny x ey 0,(y ( , )) 确定隐函数 y y(x), 求 dy

22

dx

x 0

.

解： y'(0) 1,y''(0) 2

ln(x 1)

xdx.

解： ln(x 1)dx= 4x 2x 1) 2x 1) 2xln(x 1) C

x4x3、计算 2x. (x 4)2

2、计算

4

sin4t1x2xx 解： 2 2dt 2tant 3t sin2t C x 3 C x22 2

cost22x 4(x 4)

x

4、已知函数 f(x) lim[(x-a) ],(a 0) ；试确定：

n a

（1）函数 f(x) 的连续区间； （2）函数 f(x) 的可导区间.

n

x a (x a),

2

解： f(x) 0, a x a ;

a,x a

2

连续区间 ( , a) ( a, ) ; 可导区间 ( , a) ( a,a) (a, )

五．应用题(每小题6分,共12分)

1、已知某厂生产x件产品的成本为C(x) 25000 200x 1x2(元)。问:(1)要使平均成

本最小,应生产多少件产品 ? (2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？

25000x

解： (x) 200

x40

,

x2

x0 1000 ; L(x) 300x 25000 ,

40

6000 x

2、设三次曲线 y x3 4x2 3x d 中系数 d 是任意实数；试根据 d 的各种取值，

讨论该三次曲线的零点个数。 解：y( ) ,y( ) ;