08-09微积分(上)期末考试章乃器学院试卷(附答案(4)

y'(x) 3x2 8x 3 ; y'(x) 0 x1 3,x2 y( 3) d 18 , y() d 当 18 d

13

14 ; 27

1 ; 3

14

时， 有三个零点； 27

14

当 d 18 或 d 时， 有两个零点；

2714

当 d 18 或 d 时， 只有一个零点。

27

六、证明题(4 + 2分)

设函数f(x)在( , )上连续 ，limf(3x) 1 ；（1）求证: 方程 f(x) 0 在

x

x3

( , ) 上至少有一个实根；（2）若还有条件：limf'(2x) 存在，

x

x

f''(x) 0,x ( , ) ; 证明该方程的实根还是唯一的。

证明： lim lim

x

f(x)1

M1 0:3x3f(x)1

M2 0:x33x

3

x

x M1 f(x) 0 ；

x M2 f(x) 0 ； 故至少有一个实根；

f(x)f'(x)

lim3x 3x2x

lim

x

x

limf(3x) 1

x

limf(x) ； lim

x

f'(x)

1 ； x2

lim

x

f'(x)

1 M0 0 ： x M0 f'(x) 0 ； 2

x

f''(x) 0 f'(x) 递增 f'(x) 0,x ( , ) ；

故该方程最多有一个实根， 所以实根还是唯一的。