《机械优化设计方法》第3章 一维搜索的优化方法(上课课件)

第3章 一维搜索的优化方法主讲教师：张彩丽 机械设计制造及其自动化

第3章 一维搜索的优化方法3.1 搜索区间的确定与区间消去 法原理 3.2 黄金分割法(试探法)3.3 插值法

第3章 一维搜索的优化方法什么是一维搜索的优化方法？一维优化方法是优化方法中最基本的方法。 为什么这样说呢？X k 1 X k k S k

f ( X k 1 ) f ( X k k d k ) ( k )一维优化一般分为2步： (1)确定最优解所在的搜索区间[a,b]; (2)在搜索区间[a,b]内寻求极小点。

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理

3.1.1搜索区间的确定采用的是进退法。基本思路是： 假设一元函数具有单峰性，从某一个给定的 初始值出发，以初始步长沿着目标函数值的 下降方向，逐步前进(或后退),直至找到 3个相继的试点其函数值按“大—小—大” 变化为止。

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理进退法确定搜索区间的步骤如下：

(1)给定初始点和初始步长；(2)计算得两点，并计算它们的函数值；

(3)比较两点的函数值，存在两种情况：

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理

3.1.2 区间消去法原理原理如下：假定在 [a,b]内取 2点 a1, b1,且 a1<b1,并计 算函数值。于是: f (a1 ) f (b1 )

f (a1 ) f (b1 )

3.1 搜索区间的确定与区间消去法原理

3.1.3 一维搜索方法的分类 试探法：是按某种给定规律确定区间内扦入点的位置。 只考虑如何加快区间缩短。

扦值法或函数逼近法。是根据某些点处的某些信息，构造一个扦值 函数来逼近原函数，用扦值函数的极小点作 为区间的扦入点。

3.2 黄金分割法(试探法)3.2黄金分割法(试探法)

3.2.1黄金分割法的基本思想——建立在区间消去法原理基础上的方法。 在 [a,b]内扦入两点，将区间分成三段； 应用函数的单峰性及函数值比较，删去其中一 段使区间缩短； 在保留下来的区间上作同样处理，迭代下去， 从而得到极小点的数值近似解。

3.2.1 黄金分割法的基本思想黄金分割法实施时有2点要求：

扦入点的位置相对于区间端点具有对称性 1 a (1 )(b a ) 2 a (b a )

在保留下来的区间内再扦入一点形成区间 新三段，与原区间三段具有相同的比例。

3.2.1 黄金分割法的基本思想

1 2 2 1 0 b b 2 4ac 2a 1 1 4 1 5 2 2

5 1 0.618 2

3.2 黄金分割法(试探法)3.2.2黄金分割法的具体搜索步骤(1)给出初始 [a,b]及ε。(2)根据公

式 1 a 0.382(b a) f1 f 1 2 a 0.618(b a) f 2 f 2

(3)缩短搜索区间；

3.2 黄金分割法(试探法)(4)检查区间是否缩短到足够小，如条件不满足 则返回到(2)。 (5)如果条件满足，则取区间中点作为极小点的 数值近似解。

3.2 黄金分割法(试探法)3.2.3 举例用黄金分割法求 f ( ) 2 7 10 的最优解。 设初始点 0 0 ,初始步长h=1,取迭代精度 ε=0.35。解：首先用进退法确定搜索区间 1 0 0, f1 f ( 1 ) 10 2 1 h 1, f2 f ( 2 ) 4

3 2 h 2, f3 f ( 3 ) 0

3.2.3 举例h 2 1 2, 1 2 1, f1 f 2 4

2 3 2, f 2 f3 0 3 2 h 4, f3 f ( 3 ) 2h 2 2 4 1 2 2, f1 f 2 0

2 3 4, f 2 f3 2 3 2 h 8, f3 f ( 3 ) 18

初始搜索区间[a,b]=[2,8]。

3.2.3 举例在给定区间内按黄金分割法进行求解： 1 a 0.382(b a) 4.292, f1 f ( 1) 1.622736 2 a 0.618(b a) 5.708, f 2 f ( 2 ) 2.625264b 2 5.708 a, b 2,5.708

2 1 4.292, f 2 f1 1.622736 1 a 0.382(b a) 3.416456, f1 f ( 1 ) 2.243020

b a 5.708 2 3.708