厦门大学2013级高等数学经管类A期中试卷含答案(4)

解：因为函数()f x 在0x =处连续，故

00()(0)lim ()lim (e 1)0e 1

x x x x f x f f x →→==⋅-=-. （1）00()()e 1(0)lim lim 2e 1x x x x f x f x f x x

→→-'==⋅=-； （2）2200(tan sin )(tan sin )tan sin lim lim ln(1)tan sin ln(1)

x x f x x f x x x x x x x x x x →→---=⋅+-+ 3300tan sin tan (1cos )(0)lim

2lim 1x x x x x x f x x →→-⋅-'===. 7、（8

分）设0x

，n x =（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞； 解1

：1n x ==先用归纳法证明：1(2,3,

)n n x x n ->=

21n x <<

事实上，0x

，111x =<

且10x x =>=. 假设结论对n k =

11k k x x ->>>，那么1n k =+时，

111k x +=<

，1k x +=>

且10k k x x +-=>，即1k k x x +>. 故数列{}n x 单调增加，且有上界，于是极限lim n n x →∞存在，设lim n n x a →∞=.

由n x =

两边取极限，得a =

a =

n x >

1lim 2

n n x →∞+=. 解2：

显然对任意的正整数1,n n x ≥≥

，且11n x ==≤， 即{}n x 有界。

此数列的递归函数()f x =

()0,1f x x '=>≤≤，故{}n x

单调，所以{}n x 单调有界，故lim n n x →∞存在，不妨记此极限为a

，由n x =

两边取极限，得a =

12a ±=

，因为n x >

1lim 2n n x →∞= 二、应用题（第一小题8分，第二小题10分，共18分）

1、设商品需求量Q 是价格p 的单调减函数()Q Q p =，其需求价格弹性的绝对值

222||192p dQ p Q dp p η==-，（1）设R 为总收益函数，证明：(1)dR Q dp

η=-；（2）求6p =时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

解 （1）因为商品需求量Q 是价格p 的单调减函数，于是d 0d Q p <，即d d p Q Q p η=-，因此，d d Q Q p p η=-. 由R pQ =可得

d d (1)d d R Q Q p Q Q Q p p

ηη=+=-=-. （2）总收益对价格的弹性为22d 12(1)11d 192p R p Q R p Q p

ηη=-=-=--，于是当6p =时，总收益对价格的弹性为236710.53851923613

⨯-=≈-. 其经济意义是：当6p =时，价格上涨1%时，总收益增加0.5385%.

2、在椭圆22

221x y a b

+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。

解：过椭圆上任意点00(,)x y 的切线斜率0()y x '满足0002222()0x y y x a b '+=，则20020

()b x y x a y '=-， 0(0)y ≠，切线方程为200020

()b x y y x x a y -=--. 分别令0y =与0x =，求得,x y 轴上的截距为：2200,b a y x y x ==，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：2200011()24

a b S x ab x y π=-

其中0y ==

，代入得3001(),(0,)4S x ab x a π=∈.

问题是求：3

1()(0)4

S x ab x a π=-<<的最小值， 此问题又与求函数222()()f x x a x =-在闭区间[0,]a 上最大值等价。

由223()2()20f x x a x x '=--=，得2220a x -=，即 0,02

x x a x ===（舍去），

注意到0(0)()0,()0f f a f x ==>，故0x a =

是()f x 在[0,]a 上最大值点，因此)即为所求的点P . 三、证明题（6分）

设()f x 是二阶可导的函数, (0)0,f =令2()(sin 1)()F x x f x =-，证明：在(0,)2π内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=。 证：显然(0)()2F F π=，由罗尔定理知，存在0(0,)2x π∈，使得0()0F x '=。又因为 2()2(sin 1)()(sin 1)()F x x f x x f x ''=-+-，()02F π'=，由于()F x 二阶可导，对()F x '在0[,]2x π上应用罗尔定理，则存在0(,)2x πξ∈，使得()0F ξ''=。