高二数学教案：8.04双曲线的简单几何性质(4)(3)

由

由 y xbb 得A(,). x my b1 m1 m y xbb 得D(, ). x my b1 m1 m

bbm∴AD中点坐标为(,). 221 m1 m

x2 y2 122由 得（m－1）y2+2mby+b－1=0 x my b

∴y1 y2 2mb

1 m2

bbm∴BC中点坐标为(,). 221 m1 m

∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，

∴|AB|=|CD|

（3）设A a,a ,B b, b ，a＞0，b＞0

∵|AB|=|BC|=|CD| ∴xc

即 C(a 2b1a 2b1 (a 2b),yc (a 2b) 1 231 23a 2ba 2b,). 33

a 2b2a 2b2) (). 1 33∴点C在双曲线上 (

∴ ab 9 8

1

3又 S OBC S OAD 11113|OA| |OD| 2a b ab 32638

∴△OBC的面积为定值。

【类似题】已知直线l和双曲线交于A、B两点，和双曲线的渐近线交于C、D两点。 求证：|AC|=|BD|

证明：若直线l平行于坐标轴，则根据图形的对称性，|AC|=|BD|显然成立.

一般情况下，设l的方程为y=kx+m(k≠

为b2x－a2y2=0. 22b2a2)，双曲线方程为b2x－a2y2=a2b2,渐近线方程2

y kx m由 22得 2222 bx ay ab

(b－a2k2)x－2a2kmx－a2m－a2b2

=0 222