概率统计第一二三四章课后习题过程解答

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《概率统计》习题答案

习题一

1．5 用A表示事件“所得分数为既约分数”。 则

A 2，7 ，2，11 ，2，13 ，4，7 ，4，11 ，4，13 ，6，7 ，6，11 ，6，13 ，7，8 ，7，11 ，7，12 ，7，13 ，8，11 ，

8 8，13 ，11，12 ，11，13 ，12，13 ，样本点总数为 2 28，故所求的概率为

P A

189 2814

1．6 (1) 从6到10个号码中选2个,共有 10种选法,从1到10个号码中选3个,共有

5

2

10 101

P 种选法.所以最小号码为5的概率为. 120 3 12012

(2) 从1到4个号码中选2个,共有 6种选法,从1到10个号码中选3个,共有

4

2

10 61

P 种选法.所以最大号码为5的概率为. 120 3 12020

47 27 24 6 3

10 27 3 3 3 3

1.7 所求的概率为P

50 30 27 6 3 30 3 3 3 3

10

47！30！ 20！27！ 3！1

27！ 20！50！30！1960

43C10 C4 C32252

1．8所求的概率为P 。 9

2431C17

1．9 每位乘客可以在2至10层离开电梯，所以乘客离开电梯的方式共有9种。而没有两位乘客在同一层离开电梯的方式共P

7

9种，故所求的概率为

7

P97

P 7。

9

1.12 设A “孩子得病”，B “母亲得病”，C “父亲得病”。则依题意：

P A 0.6，P B|A 0.5，P C|AB 0.4。要求PABC。

PABC=P AB C P AB ABC P AB P ABC

P A P B|A P A P B|A P C|AB 0.6 0.5 0.6 0.5 0.4 0.18.

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1．13 P AB P A P B P A B p q r.

P AB P A-B P A AB P A P AB p p q r r q. PAB PA B 1 P A B 1 r.

PAB P B-A P B AB P B P AB q p q r r p.

=

1.14 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC

11115 。 44488

1.15 PB|A B

A B P AB P B

PA BPA PB PABP A AB 0.7 0.51 . PA PB PAB0.7 0.6 0.54

1.16 设A “第一次取得的是正品”，B “第二次取得的是正品”.

C8228(1) P AB 2 .

C1045

(2) PAB

11 ; 2

45C10

(3) PAB AB 1

28116

; 454545

1821 . 451095

(4) PAB AB PAB PAB

1.17设A “甲机被击落”，B “乙机被击落”. (1) P A 0.8 0.3 0.24;

(2) P B 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424.

1.18 设至少应进行n次射击,才能使至少击中一次的概率不少于0.9.则:

1 0.8n 0.9

解得: n 11.

1.19 设A,B,C分别表示电池A,B,C能正常工作.则电路发生断电的概率为:

PA B C PA PBC PABC

0.3 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.328.

1.20 所求的概率为:

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1 0.9981500 0.95.

1.21 (1) P

1111 ; 24432

21231313

(2) P ;

52545420

17 2 2 1

(1) P ;

5 5 5 1251 1

(2) P .

464

3

333

1.22设A “第一个人取得黄球”，B “第二个人取得黄球”.则由全概率公式,所求的概

率为:

P B P B|A P A PB|APA

293030203 . 495049505

1.23设A1,A2,A3分别表示“钥匙丢在宿舍”,“丢在教室”,“丢在路上”. B “钥匙找到”.则:

P B P B|A1 P A1 P B|A2 P A2 P B|A3 P A3

=0.9 0.4 0.3 0.35 0.1 0.25 0.49.

1.24设A1,A2分别表示“把正品误判为次品”和“把次品误判为正品”. B “这箱产品被接受”.则：

P B PB|A1PA1 P B|A2 P A2

212

C1C7C322 7C3

=2 0.99 0.99 0.05 0.05 0.4806. 22 C10C10 C10

1.25设A1,A2,A3分别表示“质量问题”,“数量短缺问题”,“包装问题”. B “协商解决”.则由贝叶斯公式,有:

P A1|B

P B|A1 P A1

P B|A P A

i

i

i 1

3

0.4 0.520

0.4 0.5 0.6 0.3 0.75 0.2532033 . 故:PA1|B 1

5353

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1.26设A “在5:45-5:49到家”，B “乘地铁”，C “乘汽车”。则：

P B|A

P A|B P B

PA|BPB PA|CPC

0.45 0.59

。

0.45 0.5 0.20 0.513

1.27设A0,A1,A2分别表示第一次取出的两个球中“两个球都是旧的”,“一个是旧的，一个是新的”,“两个都是新的”，B “第二次取出的球全是新的”。 （1）P B

P B|A P A

i

i

i 0

2

2212

C3C2C1C244C24C22C4

2 2 2 2 2 2 ; C6C6C6C6C6C625

(2) P A1|B

P B|A1 P A1 2

.

PB3

1.29设A0,A1,A2,A3分别表示甲投篮3次“进球数为0”,“进球数为1”,“进球数为2”， “进球数为3”; B0,B1,B2,B3分别表示乙投篮3次“进球数为0”,“进球数为1”,“进球数为2”，“进球数为3”.则

222

P A0 0.33 0.027,P A1 C13 0.7 0.3 0.189,P A2 C3 0.7 0.3 0.441

P A3 0.73 0.343.

222

P B0 0.43 0.064,P B1 C13 0.6 0.4 0.288,P B2 C3 0.6 0.4 0.432

P B3 0.63 0.216.

(1) 两人进球数相等的概率为

P AB 0.027 0.064 0.189 0.288 0.441 0.432 0.343 0.216 0.321;

i

i

i 0

3

(2) 甲比乙进球多的概率为

P A1B0 P A2B0 P A2B1 P A3B0 P A3B1 P A3B2

0.189 0.064 0.441 0.064 0.288 0.343 0.064 0.288 0.432 0.436.

1.30设A1,A2分别表示“先取的是一等品”,“后取的是一等品”. (1) P A1

1 1018 2

; 2 5030 5

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22

C181 C10

2 2 P A1A2 2 C50C30 690.

(2) P A2|A1

2PA114215

1.31设A “这只硬币是正品”，B “抛掷一次,得到国徽”.则:

PBr|AP A PA|B

PBr|APA PBr|APA

r

m 1

m 2 m n . rrm n 2mn 1

2 m nm n

r

1.32设A0 “4枚深水炸弹击伤潜水艇0次”，A1 “4枚深水炸弹击伤潜水艇1次”.则

1 1 1283 1

潜水艇被击沉的概率为1-P A0 P A1 1 C1 . 4

6261296

1.33设M1,M2,M3分别表示将字母串“AAAA”,“BBBB”,“CCCC”输入信道, M “输出为ABCA”.则

43

P M1|M

P M|M1 P M1

P M|M P M

i

i

i 1

3

1 a

a p1

2ap1 2 . 233

2ap1 1 ap2 p3 1 a 1 a 2 1 a a p1 a p2 a p3

222

2

2

1.34设A0,A1,A2分别表示一箱中含有0个,1个,2个残次品, B “顾客买下该箱”.则 (1) P B

P B|A P A

i

i

i 0

2

44

C19C184412

0.8 4 0.1 4 0.1 0.94;

550190C20C20

(2) P A0|B

P B|A0 P A0 0.8

0.85.

PB0.94

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习题二

2.1 （1）P X 1或X 2

（2）P

121 ； 15155

1

X 2 1215

； P X 1或X 2

151552

121 . 15155

（3）P 1 X 2 P X 1或X 2

2.4 设X为耗用的子弹数。

（1）P X 1 0.9；P X 2 (1 0.9) 0.9 0.09;

P X 3 (1 0.9)2 0.9 0.009;P X 4 (1 0.9)3 0.9 0.0009;

P X 5 (1 0.9)4 0.0001.

（2）P X 3 P X 1 P X 2 P X 3 0.999.

2.5 X～H(2,15,3).

13

3 13 12 1122 （1）P X 0 ; 1515 14 1335 3

13 2 1 2

1.

35 15

3

2

13 2 2 1 12 ;P X 2 P X 1

35 15

3

2.6 （1）由概率分布的定义，有

20

20

P X k a 3k 1，解得 a

k 1

k 1

3320 1

，

（2）

P X k 3b

k 1

k 1

k

，解得 b

1。 4

2.7 （1）X服从参数为

11的几何分布，即X～G(). 331211211

（2）P Y 1 , P Y 2 , P Y 3 1 .

3323323

（3）P X Y P X 1,Y 2,3 P X 2,Y 3

12 21 18

, 33 33 327

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P Y X P Y 1,X 2,3, P Y 2,X 3,4, P Y 3,X 4,5,

1 1 1 12 1 124 38 1 1 1 . 3 3 3 39 3 3927 81

2.8 由P X 1

54

，得 P X 0 ，所以 99

2 0142

p ，解得 。从而，成功率为p的4重贝努利实验中至 p1 p 0 39

4

少有一次成功的概率为

4 1 2 65

1 . 0 3 3 81

2.9 (1) 1 0.95 0.40951;

. (2) 0.1 0.00001

,0.0001). 2.10 设X表示1000辆车通过，出事故的次数。则X～B(1000

5

P X 2 1 P X 0 P X 1

1000 1000999

1 0.9999 0.0001 0.9999 0.00467。 1

2.11 设顾客的需要量为X，商品的库存量是x,则

e 5P X k 5 0.998 k！k 0k 0

x

x

k

查附表3得：x 13.

2.12 设X为细菌的总数，X1,X2分别为甲类细菌和乙类细菌的数量。

（1）P X1 0,X2 0 P X1 0,X2 0 P X 0

1

e e e2 e ;

k!0!k 0 2

k

k

1

（2）P X2 2|X2 0,X1 0

P X 2

PX2 0,X1 0

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2

1 e22! 1 e

2

2

2

2 8 e 1

.

e

2.13 当x 1时，P X x 0;

当 1 x 1时，P X x P X 1 P 1 X x

1x 15

828

1

5x 7 ; 16

当x 1时，P X x 1.

2

2

2.17 依题意， 4X 4Y 0，得X

Y，所以X 1,Y 0.故方程t2 2Xt

Y 0有两个不相等实根的概率为

P X 1,Y 0 P X 1 P Y 0

1 1 1 2

1

1 1 2 1 0 3 3 3.

01

2.18 由P XY 0 1，得

P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 0，

1

，得 4

由P X 1,Y 1 P X 1,Y 0 P X 1,Y 1 P X 1

P X 1,Y 0

1, 4

1, 4

同样，P X 1,Y 0 由P Y 0

1

，所以P X 0,Y 0 0,故 2

P X Y P X 1,Y 1 P X 0,Y 0 P X 1,Y 1 0.

2.19 方程有实根的概率为

P(B2 4C 0) P B 2,C 1;B 3,C 1,2;B 4,C 1,2,3,4

6;B 6,C 1,2,3,4,5,6 =+P B 5,C 1,2,3,4,5,

方程有重根的概率为

19

; 36

P(B2 4C 0) P B 2,C 1;B 4,C 4

2.21 Y X 0,1,4

2

1. 18

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

1

P Y 0 P X 0 ;

5

117 ; 6153011117

P Y 4 P X -2 P X 2 .

53030P Y 1 P X -1 P X 1

2.23 X

X1X3X2

1,0,1 ，M 0,1 ，N 0,1 . X4

（1）P X 1 P X1,X2,X3,X4 0,1,10;1,1,10;0,1,1,1

0.42 0.62+0.43 0.6 2=0.1344；

P X 1 P X1,X2,X3,X4 1,1,01;1,0,11;1,0,0,1 0.1344; P X 0 1 P X 1 P X 1 0.7312;

（2）P M 0 =P X1,X2,X3,X4 0,0,0,0 0.64 0.1296 ;P M 1 1 0.6；

4

P N 0 =1-P X1,X2,X3,X4 1,1,1,1 1 0.44; P N 1 =P X1,X2,X3,X4 1,1,1,1 0.44.

习题 3

3.1 当x 0时，F x P X x 0;

当0 x 1时，F x P X 0

1

; 3

1. 当x 1时，F x P X 0,1

x 0; 0,

1

综上：F x ,0 x 1;

3

x 1. 1,

3.2 设X表示取出的3个球中红球的个数。

当x 0，时，F x P X x 0;

3C1010 9 8

当0 x 1时，F x P X 0 3 0.545;

12 11 10C1232

C10C1C

当1 x 2时，F x P X 0,1 3 2310 0.954;

C12C12

1. 当x 2时，F x P X 0,1,2

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

3.3 （1）由概率密度函数的定义，有：

f x dx

1

A x

2

1

1

解得： A

1

.

1

（2）P X

2

1 1211

; 1

2 2 x23

1

（3）当x 1，F x 0;

当 1 x 1时，F x 当x 1时，F x 1.

2

1

x

1 x2

1

1

arcsinx ; 2

F x 1，；Ax 1，3.4 （1）由lim得lim得A 1 --x 1

x 1

（2）P 0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.72 0.32 0.4;

x 0; 0,

（3）f x 2x,0 x 1;

0,x 1.

x 0

F x F 0 0得：A 1,B 1; 3.5 （1）由F 1及lim

x2

1 e2

（2）f x

x

xe2,x 0;

0,其他.

2

'

2

2

（3）P 1 X 2 F 2 F 1 1 e2

1

1 e2

2

0.4712.

3.6 （1）P X s

s

e xdx e s;

P X s t e s t

（2）P X s t|X s s e t P X t .

PX se

22

3.7 方程x Xx 1 0有实根，所以 X 4 0，解得：X 2或X 2.

有实根的概率为P X 2orX 2

6

2

14 . 55

3.8 （1）P 2 X 5 F 5 F 2

5 3 2 3

2 2

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

1 0.5 1 1 0.5 1 0.5 1

=0.8413+0.6915-1=0.5328；

10 3 -4 3

P -4 X 10 F 10 F -4

22

3.5 3.5 3.5 1 3.5 2 3.5 1 2 1-1 1;

3 3

P X 3 1-P X 3 1 F 3 1 ； 1 0 0.5

2

P X 2 P X 2 P X 2 1 P X 2 P X 2

2 3 2 3 1 1 0.5 2.5

2 2

1 1 0.5 1 2.5 1 0.5 2.5 1 0.6915 0.9938 0.6977.

（2）由P X c P X c ，得F c 1 F c ，F c 0.5,

c 3 c 3 0,c 3; 0.5,

2 2

（3）由PX a a 0.7，得 P X 0 P X 2a 0.7，

0 3 2a 3 2a 3

1 2 1.5 0.7，

222 3 2a 2a 3 3-2a

0.34,a 1.16. ， 0.3668 0.6332,

2 2 2

3.9 由P 2 X 4 0.3,得

4 2 2 2

0.3,

2 2 0 2

0.2005. 0.8, 0.84, 2.381,P X 0 1 0.8400

2.381

3.10 PX 30 P X 30 P X 30 1

30 20 30 20

4040

1 0.25 1 1.25 2 0.5987-0.8944 0.5069,

. 所以，所求的概率为1 0.5069 0.8698

3

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

3.11 (1) P X 150

150

100

100x-2dx 100x 1

4

150100

1

21 ; 33

65 2

（2）所求的概率为1 .

381

3.12 X的概率密度为

1512 ,2 x 5;

f x 3 P X 3 ,

333 0,其它.

3

k

3 2

所求的概率为 k 3

k 2

2 1 3

3 k

=

20。 27

3.13 设车门的高度为x。依题意，P X x 0.01,所以：

x 170 x 170 x 170 1 0.01, 0.99, 2.33，x 183.98.

6 6 6

3.14 （1）因为

Ae

0

x

dx 1，所以， Aexdx Ae xdx=1，

0

Aex

0

A e x

2A 1,A

1

; 2

x11x x

edx e,x 0,x1 x 22（2）F x dx 0

x 21x1 x1 x

edx edx 1 e,x 0.

022 2

（3）PX 2 P X 2 P X 2 1 F 2 F 2

1 1

1 1 e 2 e 2 e 2；

2 2

（4）Y的分布函数为；

当y 0时，FY y P Y y PX=1 e

y

2

y P y X

y

1 x

dx y2

；

当y 0时，F y 0.

1 e,

所以fY y 2y

0,

y 0;y 0.

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3.15 因为f x

3

16

e

x2 4x 4

6

12 3

23e,所以，X～N 2,3 。

x 2 2

2

（1）

1

3 2 1 2

f x dx=P 1 X 3 F 3 F 1

3 3

0.5774 2 0.5774 1 2 0.7190 1 0.438; 0.5774

（2）根据f x 的图形关于直线x 2对称，以及f x 下方图形面积的概率意义，知c 2. 3.16 当y 1时，FY y P Y y Pe

X

y P X lny

lny

e xdx

e x

lny0

1 e lny 1

1

. y

当y 1时，FY y 0.所以：

0,

fY y 1

,2 y

y 1,y 1.

3.17 （1）由Y aX b，得

Y b

X～N 0,1 .所以，Y～Nb,a2， a

fY y

1a2e

y b 2

2a2

;

（2）当y 0时，

y

FY y P Y y P X y P y X y

当y 0时，FY y 0.

12

y

x22

，

2 y

2

fY y 2 e,

0,

（3）当y 0时，

2

y 0, y 0.

FY y P Y y PX y P0 X y2

当y 0时，FY y 0.

y2

12

x2

2

，

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

2y y

2

fY y 2 e,

0,

3.18 （1）由

4

y 0, y 0.

f x,y dxdy 1,得： k e 3xdx e 4ydy 1,

1 1 1

k e 3x e 4y k 1,得k 12;

12 3 0 4 0

（2）P X Y 1 12e

1

3x

dx

1 x

e 4ydy 1 3e 4 4e 3;

0

（3）fX x 12e

3x

e 4ydy 3e 3x,fY y 12e 4y e 3xdx 4e 4y.

因为f x,y fX x fY y ，所以X与Y相互独立。 3.19 FZ z P Z z P X Y z

f x,y dxdy.

DZ

其中，DZ x,y |x y z,0 x 1,y 0 当0 z 1时, FZ z 当z 1时，FZ z

1

z

dx

z x0

z x

e ydy z 1 e z；

dx

e ydy 1 1 e e z；

当z 0时，FZ z 0. 所以

1 e z,0 z 1;

fZ z e 1 e z,z 1;

0,z 0.

3.20 由fX|Y x|y

f x,y ，得

fYy当0 x y,0 y 1时，

3x2

f x,y fX|Y x|y fY y =3 5y4 15x2y；

y

其它， f x,y 0. 于是，fX x

2

15xydy x1

152

x1 x2, 2

471 1512 4

x xdx . P X 12642 2

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

1

， x，y G；

3.21（1）f x，y G的面积

0，其它。

因为，G的面积

dxdy dx

G

1x

43 4

dy 2xdx x2 ，

x0

3 03

1

1

3

， x，y G；

所以，f x，y 4

0，其它。

3 x3

dy x，0 x 1，

（2）fX x x4 2

0，其它。

3 13

2dy 1 y2， 1 y 1，

fY y y4 4

0，其它。

因为，所

X与Y不独立。

1

20

（3）P X〈

1 2

12 1

31xdx x ， 2 022

3

2

12

1 33 1 27

P Y〈 1 y2dy y y3 ，

244332 1

1

2

11

P X〈，Y〈

22

1

2

dy 1

2

1

2y2

33dx 44

1

2

3 113 12 ydy y y 1 24 23

1

22

51 . 3242

3.22 （1）由

dy cxedy 1，得：c 1；

y

y

xe ydy xe x，x 0;

（2）fX x x

0,x 0.

1 y y

xedx y2e y，y 0;

fY y 02

0,y 0.

概率统计第一二三四章课后习题过程解答

f x,y xe y

2xy 2,0 x y , 12 y

（3）fX|Y x|y fYy ye

2

0,其它。

f x,y xe y

x ex y,0 x y ,

fY|X y|x fXxxe

0,其它。

1 5e 5x，x 0; ，0 y 2;

fY y 23.23 依题意：fX x

其它. 0,其它. 0,

5 5x

e,0 x ,0 y 2;

（1）f x,y 2

其它. 0,

（2）P X Y

521 5x 10

dyedx 1 e。 0y210

1212

3.24 （1）由A dx 3x xydy 1，得：A ；

003

111 x27

PX Y 1 dx3x xydy ； （2） 00372

2 122

3x xydy 2x2 x，0 x 1;

（3）因为fX x 30 3

0,其它.

1

P X ,Y

11 2 所以 P Y X 1 22 P X

2

=

1

2

12

dx 23x2 xydy 00

1

2 2 2x2 x dx 0 3

11

5

。 32

FZ z P Z z P X 2Y z 2 edx

x0z

z x20

3.25 当z 0时,

e 2ydy

1 e z ze z；

当z 0时,FZ z 0. 3.26 因为 fX x

12

e

x 2

2 2

x ;