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3.4 解析函数的高阶导数

时间：2025-04-22 来源：未知

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复变函数与积分变换(PPT版)课件(谢松法2010.09)

§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分

§3.4 解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理

复变函数与积分变换(PPT版)课件(谢松法2010.09)

§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分

一、高阶导数定理分析如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，在 D = D + C 上连续，内解析，上连续，

1 则由柯西积分公式柯西积分公式有则由柯西积分公式有 f ( z ) = 2πi

∫C

f (ζ ) dζ , ( z ∈ D) . ζ z

d d2 1 2 [(ζ z ) ] = (ζ z ) , 又 [(ζ z ) 1 ] = 2 (ζ z ) 3 , dz dz 2……

n! dn 1 ( n+1) , = ( ) = n!(ζ z ) n+1 n (ζ z ) dz ζ z

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分意义解析函数的导数仍解析。解析函数的导数仍解析。证明 (略)(进入证明?) 进入证明?)

一、高阶导数定理定理如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，在 D = D + C 上连续，内解析，上连续，P71 定理 3.9

上解析，则 f (z ) 的各阶导数均在 D上解析，且上解析

f

( n)

n! ( z) = 2πi

∫C

f (ζ ) dζ , ( z ∈ D) . n+1 (ζ z )

应用

反过来计算积分

∫C

f ( z) 2πi ( n) dz = f ( z0 ) . n+1 n! ( z z0 )

推出一些理论结果。推出一些理论结果。 3

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分例计算解P73 例3.12 部分

∫| z i | =1

cos z 2π i dz = cos′′ z 3 2! (z i)

z=i

πi = πi cos i = (e + e 1 ) . 2

∫| z | =1 z100 d z .ez2πi 2πi z 99 dz = . (e ) = z =0 99! 99!

ez

解

∫| z | =1 z100

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分如图，两个小圆，如图，作 C1 , C2两个小圆，则 I=∫C1

例计算 I = ∫

ez| z | =2

( z + 1)2

2

dz .i

C1

C2

解 (1) 令 f ( z) =

ez( z + 1)2 2

=

ez(z i ) (z + i )2 2

. i

C2

f ( z ) dz + ∫

C2

f ( z ) dz (复合闭路定理) 复合闭路定理)

=∫

C1

dz dz ez +∫ C2 ( z i )2 ( z + i )2 ( z + i )2 ( z i )2I1 + I 2 .5

ez

记为

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分(高阶导数公式) 高阶导数公式)

例计算 I = ∫ 解 (2) I1 = ∫

ez| z | =2

( z + 1)2

2

dz .i

C1

C2

C1

dz 2 ( z + i ) ( z i )2 2πi ez ′ ] [ 2 1! (z + i)

ez

i

C2

z=i

π (1 i ) e i . 2 π 同样可求得 I 2 = (1 + i ) e i . 2 = π π i i (3) I = I1 + I 2 = [(1 i ) e (1 + i ) e ] = 2 πi sin(1 ) . 4 26

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分

二、柯西不等式定理设函数 f (z ) 在 | z z0 | < R 内解析，且 | f ( z ) | < M , 则内解析，P73 定理 3.10

|f

( n)

n! M ( z0 ) | ≤ , (n = 1 , 2 , L) . (柯西不等式) 柯西不等式) n R

证明 R1 : 0 < R1 < R , 函数 f (z ) 在 | z z0 | ≤ R1 上解析，上解析，

f

( n) ( z0 ) = |f( n)

n! 2πi

∫| z z | = R0 0

1

f ( z) d z , (n = 1 , 2 , L) . n+1 ( z z0 ) | f ( z)| n! M ds ≤ , n n+1 | z z0 | R1

n! ( z0 ) | ≤ 2π

∫| z z | = R( n)

1

令 R1 → R , 即得 | f

n! M ( z0 ) | ≤ , (n = 1 , 2 , L) . n R7

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分

三、刘维尔定理定理设函数 f (z ) 在全平面上解析且有界，则 f (z ) 为一常数。在全平面上解析且有界，为一常数。P74 定理定理3.11

证明设 z0 为平面上任意一点，为平面上任意一点，

R > 0 , 函数 f (z ) 在 | z z0 | < R 上解析，且 | f ( z ) | < M , 上解析，根据柯西不等式有根据柯西不等式有 | f ′( z0 ) | ≤ 柯西不等式令 R → +∞ , 即得 f ′( z0 ) = 0 , 的任意性，由 z0 的任意性，知在全平面上有 f ′( z ) ≡ 0 , 为一常数。则 f (z ) 为一常数。 8

M , R

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§3.4 解析函数的高阶导数第三章复变函数的积分证 (1) 任取正数 r < 2 , (注意 f (z ) 在 | z | = 2 上的性态不知道) 上的性态不知道) 内解析，高阶导数公式有则函数 f (z ) 在 | z | ≤ r 内解析，由高阶导数公式有

f ′(0) =

1 2πi

∫| z | =r

f (z) dz , 2 z

1 | f ′(0) | = 2πi | f ′(0) | ≤ 1 2π

∫| z | =r

f ( z) z + z dz , 2 z

∫| z | =r

| f ( z) z | + | z | ds , 2 | z|9