2014年高中数学(人教a版)必修一：第1章-集合与函数的概念-单元评估试题(含答案

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单元质量评估(一)

第一章

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2012·山东高考)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(ðUA)∪B为( )

A.{1,2,4} B.{2,3,4}

C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

2.如图可作为函数y=f(x)的图象的是(

)

3.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q P,那么a的值是

( )

A.1 B.-1

C.1或-1 D.0,1或-1

4.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么

p+q=( )

A.21 B.8 C.6 D.7

5.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )

A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|

C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

6.(2013·衡水高一检测)下列各组中的两个函数是同一函数的为

( ) (1)y=

(2)y=(3)y=x,y=

(4)y=x,y=

(5)y=(. . )2,y=2x-5. ,y=x-5. ,y=. A.(1),(2) B.(2),(3)

C.(3),(5) D.(4)

7.下面4个结论:

①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),上述正确说法的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知A={0,1},B={-1,0,1},f是从A到B映射的对应关系,则满足f(0)>f(1)的映射有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

9.若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是( )

A.[-4,4] B.[-2,2]

C.[-4,-2] D.[2,4]

10.若f(x)= 则f(x)的最大值,最小值分别为( )

A.10,6 B.10,8 C.8,6

D.8,8

11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法:

①f(0)=0;

②若f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值为1;

③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数;

④若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x.其中正确说法的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

12.f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b)且f(1)=2,

则+

++ +=( )

A.1 006 B.2 014 C.2 012 D.1 007

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在

题中的横线上)

13.(2012·广东高考)函数y=

14.若函数f(x)=的定义域为 . 则f(-3)= .

15.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a的值为 .

16.若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有

为“理想函数”.给出下列三个函数中:(1)f(x)=.

(2)f(x)=x2.(3)f(x)=

相应的序号).

三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知

A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且

B),A∩C= ,求a的值.

18.(12分)已知函数f(x-1)=x2-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式.

19.(12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一天能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每天能来回10次.

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式.

(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多<0,则称函数f(x)能被称为“理想函数”的有 (填(A∩

少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.

20.(12分)已知函数f(x)=,

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.

21.(12分)(能力挑战题)设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求f(0)的值.

(2)求证:f(x)为奇函数.

(3)若函数f(x)是R上的增函数,已知f(1)=1,且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

22.(12分)(能力挑战题)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.

(1)求f(x)的解析式.

(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.

(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.

答案解析

1. 【解题指南】先求集合A关于全集U的补集,再求它与集合B的并集即可.

【解析】选C.(ðUA)∪B={0,4}∪{2,4}={0,2,4}.

2.【解析】选D.只有选项D中对定义域内任意x都有唯一的y值与之对应.

3.【解析】选D.P={-1,1},Q P,所以(1)当Q= 时,a=0.(2)当Q≠ 时,Q={}, =1或=-1,解之得a=〒1.

【变式备选】(2012〃上海高考改编)若集合A={x|2x+1>0},B={x|-2<x-1<2},则A∩B= .

【解题指南】本题考查集合的交集运算知识,此类题的易错点是临界点的大小比较.

【解析】集合

A={x|2x+1>0}={x|x>-},集合B={x|-2<x-1<2}={x|-1<x<3},所以A∩B={x|-<x<3}.

答案:{x|-<x<3}

4.【解析】选A.因为M∩N={2},所以2是这两个方程的解,分别代入两个方程得p=5,q=16,从而p+q=21.

5.【解题指南】将选项中的函数逐个代入f(2x)=2f(x)去验证.

【解析】选C.f(x)=kx与f(x)=k|x|均满足:f(2x)=2f(x),故A,B,D满足条件.

6.【解析】选D.(1)中的y=与y=x-5定义域不同.(2)中两个函数的定义域不同.(3)中第1个函数的定义域、值域都为R,而第2个函数的定义域是R,但值域是{y|y≥0}.(5)中两个函数的定义域不同,值域也不同.(4)中显然是同一函数.

7.【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交.反

例:y=x0,故①错.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,反例:y=x-1,故②错.③正确.若y=f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但未必x∈R,反例:f(x)=故④错.

8.【解析】选A.当f(0)=1时,f(1)的值为0或-1都能满足f(0)>f(1);当f(0)=0时,只有f(1)=-1满足f(0)>f(1);当f(0)=-1时,没有f(1)的值满足f(0)>f(1),故有3个.

9.【解析】选B.由得-2≤x≤2. +,其定义域为{-1,1},

【拓展提升】复合函数的定义域的求解策略

若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f(g(x))的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于当x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域).

10.【解析】选A.f(x)=2x+6,x∈[1,2]的最大值为10,最小值为8;f(x)=x+7,x∈[-1,1]的最大值为8,最小值为6,所以f(x)的最大值为10,最小值为6.

11.【解析】选C.①f(0)=0正确;②也正确;③不正确,奇函数在对称区间上具有相同的单调性;④正确.

12.【解析】选B.因为对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)〃f(b)且f(1)=2,由f(2)=f(1)〃f(1),得

由f(4)=f(3)〃f(1),得

……

由f(2014)=f(2013)〃f(1),

=f(1)=2, =f(1)=2,

得

+=f(1)=2, ++…+=1007〓2

=2014.

13.【解题指南】求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,本小题涉及分式,要注意分母不能等于0,偶次根式被开方数是非负数.

【解析】由得函数的定义域为{x|x≥-1,且x≠0}.

答案:{x|x≥-1,且x≠0}

14.【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)

=f(1)=1+1=2.

答案:2

15.【解析】f(x)的对称轴为x=-1,当a>0时,

f(x)max=f(2)=4,解得a=;

当a<0时,f(x)max=f(-1)=4,解得a=-3.

答案:-3或

【误区警示】本题易忽视分类讨论,简单认为a>0,而导致错误.

16.【解析】①要求函数f(x)为奇函数,②要求函数f(x)为减函数,(1)是奇函数但不是减函数,(2)是偶函数而且也不是减函数,只有(3)既是奇函数又是减函数.

答案:(3)

17.【解析】≧B={x|x2-5x+6=0}={3,2},

C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},

由A∩C= 知,

-4 A,2 A,

(A∩B)知,3∈A.

9-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与A∩C= 矛盾.当a=-2时,经检验,符合题意.

18.【解析】已知f(x-1)=x2-4x,

令x-1=t,则x=t+1,代入上式得,

f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3,

即f(x)=x2-2x-3(x∈R).

因此f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4.

【一题多解】≧f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3,

f(x)=x2-2x-3(x∈R),因此,f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4.

19.【解析】(1)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b,当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,得到16=4k+b,10=7k+b.

解得:k=-2,b=24, y=-2x+24.

(2)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多,设每天运营

S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,

所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110〓72=7

920(人).

答:这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920人.

S节车厢,则

20.【解析】(1)函数f(x)在[1,+≦)上是增函数.

任取x1,x2∈[1,+≦),且x1<x2,

f(x1)-f(x2)=-=,

≧x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在[1,+≦)上是增函数.

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数,最大值

f(4)=,最小值f(1)=.

【拓展提升】定义法证明函数单调性时常用变形技巧

(1)因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.

(2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.

(3)配方:当原函数是二次函数时,作差后可考虑配方,便于判断符号.

21.【解析】(1)令x=y=0,

则f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0.

(2)令y=-x,

则f(0)=f(x)+f(-x) f(-x)=-f(x),

所以f(x)为R上的奇函数.

(3)令x=y=1,

则f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=2,

f(2a)>f(a-1)+2 f(2a)>f(a-1)+f(2)

f(2a)>f(a+1).

又因为f(x)是R上的增函数,所以2a>a+1 a>1,

所以a的取值范围是(1,+≦).

22.【解析】(1)由题意设f(x)=a(x-1)2+1,代入(2,3)得a=2,

所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.

(2)对称轴为x=1,所以2a<1<a+1,所以0<a<.

(3)f(x)-2x-2m-1=2x2-6x-2m+2,

由题意得2x2-6x-2m+2>0对于任意x∈[-1,1]恒成立,

所以x2-3x+1>m对于任意x∈[-1,1]恒成立,令g(x)=x2-3x+1,x∈

[-1,1],

则g(x)min=-1,所以m<-1.

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