线性代数练习册第1章作业答案

一、填空题

1、排列13…(2n 1)(2n)(2n 2)…42的逆序数为. 解 在排列13…(2n 1)(2n)(2n 2)…42中.

第2个元素前没有比它大的数,故第2个元素的逆序是0; 同样,第3,4,…,n,n+1个元素的逆序也为0;

第n+2个元素前有2比它大的数,故第n+2个元素的逆序是2; 第n+3个元素前有4比它大的数,故第n+3个元素的逆序是4; ……;

第2n 1个元素前有2(n 2)比它大的数,故第2n 1个元素的逆序是2(n 2); 第2n个元素2(n 1)前没有比它大的数,故第2n个元素的逆序是2(n 1). 故排列13…(2n 1)(2n)(2n 2)…42的逆序数为2+4+"+2(n 1)=n(n 1). 2、四阶行列式中含有因子a14a23的项是和. 解 由n阶行列式的定义知,四阶行列式的一般项为

( 1)ta1p1a2p2a3p3a4p4 其中t为p1p2p3p4的逆序数.

由已知p1=4,p2=3,故排列p1p2p3p4只能形如43□□,即4312或4321.对应的t分别为

1+2+2=5或1+2+3=6,故所求的项为

a14a23a31a42和a14a23a32a41为所求.

3、若a12a3ia2ka51a44是5阶行列式中带“+”的项,则i;k. 解 将该项的行标按标准次序排列得 a12a2ka3ia44a51

于是它的符号由排列2ki41的逆序数确定,其中k=3,i=5或k=5,i=3.

如果k=3,i=5,则排列23541的逆序数为5,该项的符号为负;如果k=5,i=3,则排列25341的逆序数为6,该项的符号为正.故i=3,k=5.

004、0

a500

a1000ba1000b

0a200c0a200c

00a30d00a30d

00

0=a4e000a4e

00a500

r2 r3

解 0

0a5

r4 r5

a100b0a1b000

0a20c00ca200

00a3d00d0a30

00ea40e

= 0

0=a5

00a5

r1 r2

r3 r4

00a10b00ba1000

0a2c00c0a200

00da30d00a30

00e 0a4e0

0=a1a2a3a4a5 0a4

a5

= 0

0=000a4

1+a1

解 +a2

1+a3

2+a12+a22+a3

3+a11+a113+a11+a112

c3 c1c2 c1

3+a2=+a213+a2=+a212=0 3+a3

+a313+a3

+a312

2xx121x1 1

6、行列式展开式中含x3的项的系数为.

32x1111x

解 由n阶行列式的定义知,四阶行列式的一般项为

( 1)ta1p1a2p2a3p3a4p4

其中t为p1p2p3p4的逆序数.要使四项的乘积含x3,该项必包含a11,a12,a22,a33,a44这五个元素中的三个,但a11,a12为同一行元素,故不可能同时出现在某一项中;同样a12,a22为同一列元素,故也不可能同时出现在某一项中.因而含x3项的四个元素组合有一种情况： a12,a21,a33,a44

它们对应的t=τ(2134)=1,故含x3的项的系数为-1.

zyxxyz

7、已知123=5,则321432234

zyx

解 321= 123= 5

432

a1

a2b2c2

234a3

a1+a2

a2+a3b2+b3

c2+c3a2 a3

a3+a1

b3+b1. c3+c1a2+a3b2+b3c2+c3

a3+a1

b3+b1=2b2c3+c12c2

c2 c1

c1+c2

c1 c3

xyz

8、已知b1

c1b3=k,则b1+b2

c1+c2c3a2+a3b2+b3

c2+c3

a3+a1

c1 c3

a1+a22a2a2+a3b2+b3c2+c3a3+a1

a3+a1b3+b1 c3+c1

解法一 b1+b2

c1+c2b3+b1=b2 b3c3+c1c2 c3

c1÷2

a2a2+a3b2+b3c2+c3

a3+a1c3+c1

a2c2

a3b3c3

=2b2

c2

c3 c2

b3+b1=2b2b3+b1 c3+c1

a2

=2b2

c2a1

=2b1

c1

a3b3c3a2b2c2

a1a1

c1 c3

b1= 2b1c1c1a3

b3=2kc3

a3b3c3a2b2c2

c2 c3

a1+a2

a2+a3b2+b3a3+a1

a1

a2+a3b2+b3a3+a1

a2

a2+a3b2+b3a3+a1

b3+b1(拆分第一列) 解法二 b1+b2

b3+b1=b1b3+b1+b2c1+c2c2+c3

c3+c1c1

c2+c3c3+c1c2c2+c3c3+c1

第一个行列式：ca1a2+a3aa3 c13a2a33+a1第二个行列式：=

cb1b2+b3b3+b2

b3b3+b1 ２ c1

c1

c2+c3

c3

c2

c3

c3+c1

第一个行列式：caa2 c31

a2a3a23a1第二个行列式：=

cb1b2b3+b2b3b13 c2

c1c2c3c2c3c1

aa

第二个行列式：c１ c3

1a2

3a1a2a3

第二个行列式：=cb1b2

b3+b1b2b3=2k２ c３

c1c2

c3c1

c2

c3

9、已知n行列式Dn=aij的值为a,则行列式D=-aij的值为解 D=-aij=( 1)naij=( 1)na (每行提出一个-1,总共n行)

1234

10、若行列式5678

00x3=0,则x的值为.

0041

解 由拉普拉斯定理(P14例4)知

1234

567800x3=1256 x3

41= 4(x 12)=0

0041故x=12.

二、求下列行列式的值

41241202120212

0 1、解 1202r1 r24１2r2 4r1011520＝ 520r= -72-４r2 r20＝

40

3 10r10 152 0 1520117011701170

7212021202 r3+15r20117r3÷170117

r=r85r=17×9×=0

4+7200174÷90015

009450015

+x111+x111x111 2、解 11 x11ri r1 x x00c1 c20 x0

0111+x1(i=2,3,4)= x0x0

=

x0x0 1111 x x00 x

x00 x

27

20

4

abbba+3ba+3ba+3bbabbr1+ribab

3、解 =

bbab(i=2,3,4)bbabbbabbb

a+3b1111bbabb

=(a+3b) bbbababbba1 ri br1

0(i=2,3,4)=(a+3b)

0011

a b0

a b00

10

0=(a+3b)(a b)3 a b

一、填空题

a11a21

1、行列式

a31a41

a11

a12a22a32a42a13a23a43

a13a23a33a43a14

a14a24

中元素a32的余子式M32=代数余子式A32=a34a44

a11

a13a23a43

a14a24. a44

解 M32=a21

a41a24,A32=( 1)3+2M32= a21a44a41

1111

2345

2、行列式的值为 .

49162582764125

解 由范德蒙行列式知

1111111123452345 =2=(3 2)(4 2)(5 2)(4 3)(5 3)(5 4)=12.

49162523242528276412523334353

3、设3阶行列式D的第2列元素分别为1, 2,3,它们对应的代数余子式分别为 3,2,1,则

D=.

解 由行列式按行(列)展开定理知 D=1×( 3)+( 2)×2+3×1= 4.

5

2 0,则 2A31+4A32+A33;5M13 2M23 2M331

4、设D=20

24

解 由行列式按行(列)展开定理知

52 1

12+12 2A31+4A32+A33=D=200=2×( 1)= 12. 41

241

5

2

5

5M13 2M23 2M33=5A13+2A23 2A33=202=0.

24 2

157

5、设D=222,则A31+A32+A33=.

203解 由行列式按行(列)展开定理知

157

A31+A32+A33=222=0.

111

二、求下列行列式的值

a100 1b10r1+ar2

=1、

0 1c100 1d

01+aba 11b0 1c00 10

+aba0

=( 1)×( 1)2+1 1c1 1

0 1d

d

c3+dc2

+abaad

+abad

= 1c1+cd=( 1)×( 1)3+2

11+cd

0 10

=abcd+ab+cd+ad+1

2、解法一 按最后一行展开得

a00"01

000

0a0"00

a00

00a"00

=( 1)n+10a0

"""""

""

000"a0

000

100"0aa0

=( 1)n+1 ( 1)n0

0a00

"01a00"0"000a0"0"00+( 1)2na00a"0 """""""""a0000"a

00a0

""""

000a

+an

""""

(n 2)×(n 2)

= an 2+an=an an 2.

解法二 如果a=0,显然

a00"01000"010a0"00000"0000a"00000"00

==0

""""""""""000"a0000"00100"0a100"00

如果a≠0,则

a00"01

a00"01

0a0"00

0a0"00

1

0a"00rn r10

00a"00a1

="""""=an 1 a =an an 2.

"""""a

000"a0

000"a0

1

100"0a000"0a

a

λx1+x2+x3=0

三、当λ,μ取何值时,齐次线性方程组 x1+μx2+x3=0有非零解.

x+2μx+x=0 123

λ11

解 由于D=1μ1=μ μλ,当D=0时,齐次线性方程组有非零解.由D=0得μ μλ=0,即

12μ1

μ=0或λ=1.故当μ=0或λ=1时,该齐次线性方程组确有非零解.