高一数学同角三角函数的基本关系式1(2)

在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的． 教学过程：

一、复习引入：

是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离r

x y x2 y2 0

22

2sin

y

R r

csc

r

| k ,k Z y

x

cos R

rsec

r | k ,k Z x2 y | k ,k Z x2

tan

cot

x

| k ,k Z y

以上六种函数，统称为 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限全为正,终边相同的角的同一三角函数值相等

诱导公式一（其中k Z）: 用弧度制可写成

sin( k 360 ) sin sin( 2k ) sin cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos

tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

二、讲解新课：

1．公式: sin cos 1 2．采用定义证明： 1 x y r

2

2

sin

cot 1 tan tan

cos

yx22

,cos sin cos 1 rr

sin yxyry

2 当 k (k Z)时， tan

2cos rrrxx

2

2

2

且sin

3 当 k 且 k

2

2

2

时,tan cot

yx

1 xy

3．推广：sin cos 1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：

2

sec2 tan2 1 csc co2t 1

sin cos tan 这种关系称为商数关系, cot cos sin

tan cot 1这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有：

csc sin 1 sec cos 1

4 5．注意：

1 “同角”的概念与角的表达形式无关，

si 22 ta如： sin3 cos3 1

2co2

2 上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立

tan

cot

3 据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系 三、讲解范例：

例1． 已知sin

4

，并且 是第二象限角，求 的其他三角函数值． 5

分析：由平方关系可求cos 的值，由已知条件和cos 的值可以求tan 的值，进而用倒数关系求得cot 的值．

22

解：∵sinα+cosα=1， 是第二象限角

43

cos sin2 ()2 ,

554

sin 4

tan

cos 3

513

cot .

tan 4

8

，求sin 、tan 的值． 17

分析：∵cosα＜0 ∴ 是第二或第三象限角．因此要对 所在象限分类．

当 是第二象限角时， 例2．已知cos

sin cos2 ( 15

sin 15

tan .

cos 88

17

8215) ,1717

当 是第三象限时 sin cos2

15,17

tan

15. 8

提问：不计算sin 的值，能否算得tan 的值？

1

由于 1 tan2 而 在Ⅱ或III象限 2

cos

115 18

tan 1 1 . 2

178cos

2

cos2

1

1 tan