数学精英解“数列”题

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（3）数学精英解"数列"题

1．（广东卷第5题）已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
解答： B 此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8.

2．（天津卷第8题）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8
解答： 由题意得，an=（n+8）d,a,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
答案为B.

3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足N*),则称{an}为"等方比数列".
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
　解答： ，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则，数列{an}是等方比数列.
答案为B.
【说明】 1，2，4，8，-16，-32，......是等方比数列，但不是等比数列.

4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
解答： 运用中值定理，.

可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，为正整数.
答案为D.

5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）
　　A．63 B．45 C．36 D．27
解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，
　　则
　　∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
解析2：由等差数列的性质知：
　　S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18.
　　∴S〞3=S3+2d′=9+2×18=45.
　　答案为B.

6．（福建卷第2题）数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
解答： 由，得，

答案为B.

7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．
解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4
注意到q≠0,得公比q=
解法二：由题设得
化简得a2=3a3，故公比q=
解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=
8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
解答：（Ⅰ）解法1：由题设：


，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即的通项公式为，．
解法2：设
整理得
由已知
比较系数得.
∴.
即数列
∴，（n∈N+）
（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，
也即．
当时，


，
又，
所以　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　．
也就是说，当时，结论

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成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
解法2：由
于是
令
有
∵
∴数列是以首项为1+，公比为（3+）2的等比数列.
∴,

又,
∴要证明，
只需证明而

综上所得













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