数值分析 迭代法(5)

x=-3

上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。

在进行n次迭代后，实部都会存在一个xn 1，此时xn相当于是在[ 1, ]范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。

（3） 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的

差异，有何结论和问题。

ⅰ）对线性方程f(ax1 bx2) af(x1) bf(x2)，设f(x) ax b，则f(x) a。 若线性方程的迭代是收敛的，则有f(x) a 1, 1 a 1对f(x) ax b而言，在

'

'

[ , ]上，都有x,f(x) [ , ]，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受

初值的影响。

若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。

ⅱ）对非线性方程的迭代，就复杂的多。

对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。方程的迭代还是发散。

对方程迭代收敛的情况而言，若想要使得初值的选择不会影响收敛性，那必须要使得

x,f(x) [ , ]并且在某一定点的邻域内f'(x) 1，情况是很复杂的。