考研高数模拟试题

模拟测试题(七)

考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟.

一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数y x sinx及其表示的曲线 ( ).

(A) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D) 既无极值点,也无拐点 .

222

(x yx y 0 (2)

设f (x,y) 0,x2 y2 0

(C) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D) 可微 . (3)(一、三)设级数

则在(0,0)点处, f(x,y) ( ).

(A) 连续但二偏导数不都存在 ; (B) 二阶偏导数存在但不连续;

a

n 0

n

收敛,则下列三个级数①

a,② a,③ a

2

n

4n

n 1

n 1

n 1

6n

中( )

(A) ①、②、③均收敛 ; (B) 仅②、③收敛 ; (C) 仅③收敛 ; (D) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设f(x) |x|,g(x)

2 x 1,x 0

则, f(g(x))dx (). 2 1

x,x 0

(A)

1524

; (B) ; (C) ; (D) .

3333

(4) (一、二) 在线性微分方程:y'' b(x)y' c(x)y 0中, 若b(x) c(x) 1,b(x) [1 c(x)]tanx,则此方程的通解为y ( (A) c1e

x

).

c2sinx; (B) c1e x c2cosx; (C) c1ex c2sinx; (D) c1ex c2cosx.

(4) (三) 设I

x 2

x

sintesintdt, 则I ( ) .

(A) 是无界函数 ; (B) 是x的非常量函数 ; (C) 是正常数 ; (D) 是负常数 .

(5)设向量组(Ⅰ): 1, 2, , r可由向量组(Ⅱ) 1, 2, , s 线性表示,则有( ) .

(A) 若r s,则向量组(Ⅰ)必线性无关 ; (B) r s,则向量组(Ⅰ)必线性相关 ; (C) 若向量组(Ⅰ)线性相关,则必有r s ; (D) 若向量组(Ⅰ)线性无关 则必有r s. (6) 设A为m n矩阵, B与C均为n l矩阵,且AB AC, 则 ( ) .

(A) m n时必有B C ; (B) r(A) m时必有B C ; (C) r(A) n时必有B C ; (D) m n时必有B C.

(7) (一) 设随机变量X~F(n,n), 记 P{X 1}, P{X 1}, 则 ( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D)

、 的大小与n 的取值有关 .

|x3 x2 x 1| 2x,x 1

(7) (二) 设f(x) 则在x =1处 f (x) ( ) .

x 1 2,

(A) 不连续 ； (B) 连续但不可导 ； (C) 可导但导数不连续 ； (D) 导数连续 .

(7) (三) 对任意三个概率不为零的事件A、B、C ,已知P(A|B) P(A),则下列不等式正确的是( ) .

(A) P(A|B) P(A) ; (B) P(B|A) P(B) ;

(C) P(A|BC) P(A) ; (D) P(BC|A) P(BC) . (8) (一、三) 以下命题不正确的是 ( ) .

(A) 若P(A) 0,则事件A与任意事件B 相互独立 ;

(B) 若X是只取一个常数C的随机变量,即X C, 则X和任意随机变量相互独立 ； (C) 若P(A) 1,则事件A与任意事件B相互独立 ； (D) 若P(A B) P(A) P(B),则事件A、B互不相容 .

(8) (二) 设平面曲线由极坐标方程r a(1 cos )给出，则此曲线的周长为 ( ) . (A) 6a ; (B) 4a ; (C) 8a ; (D) 2a

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

x12

(9)若

lim 1,则a ______.

x 0x sinx 0(10) (一) 与直线 L1:x 1,y t 1,z t 2及L2:平面方程为_____. (10) (二) lim(

n

x 1y 2z 1

均平行且过原点的121

1

32n ) _______. 323n

(10) (三) 差分方程yt 1 2yt 2 3t的通解是_________________.

(11) 设A 0,AC B2 0,则在条件x2 y2 1下,函数z=Ax2 2Bxy Cy2的极大值与极小值之和 = ________________.

(12) (一) 设L是折线y 1 |1 x|由(0,0)到(2,0)的一段,则(12) (二、三) lim

L

xdy __________.

arctanx arcsinx

_________. 2x 0xsinx

(13) 设向量组(Ⅰ): 1, 2, 3和向量组(Ⅱ): 1 t 2, 2则数t应满足的条件是_____________.

t 3, 3 t 1,若这两个向量组等价,

(14) (一、三) 设随随机变量X与Y不相关,且方差分别为4和9,则随机变量3X 4Y的方差为

__________. (14) (二) 微分方程

dyy

的通解为___________________. 3

dxy x

三、解答题（本题共9小题，总分94分） (15) (一)（本题满分10分）

求幂级数

(15) (二、三) 本题满分10分）计算二重积分其中D {(x,y)|x y x y 1}.

2

2

n 1

n)xn的收敛域. n 1

(2x y)dxdy,

D

(16) （本题满分10分）设函数f(x,y)二次可微,且

f

0,试证明:对任意的常数C,方程 y

f2 2f f f 2f f2 2f

f(x,y) C表示一条直线的充要条件是() 2 () 0. 22

y x x y x y x y

(17) (一、二)（本题满分10分）求摆线x a(t sint),y a(1 cost)一拱(0 t 2 ),与x

轴所围成图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

(17) (三)（本题满分10分）求抛物线x y 1的切线与二坐标轴所围成三角形面积的最大值.

(18) （本题满分10分）设f(x)有二阶连续的导数,z f(exsiny)满足方程：

12

12

2z 2z2x

ez, 求f (x) . 22 x y

(19) （本题满分10分）计算广义积分

(20)（本题满分11分）设 、 均为3维实单位向量,且 其中E为3阶单位矩阵. (1) 证明A为实对称矩阵 ；

(2) 写出经正交变换将二次型f xAx化成的标准形. (3) 问A是否为正定矩阵？说明理由.

T

T

ln(ex)

. 1 x2

0,A T T 2E,

B是两个n阶的非零矩阵,满足AB 0,A 0.若 1, 2, , k(21（本题满分)11分）设A、

是齐次线性方程组Bx 0的一个基础解系, 是任意一个n维列向量,证明B 可由

1, 2, , k, 线性表示,并问何时线性表示是唯一的.

Ae x 2x,x 1

(22) (一、三（本题满分)11分）已知二维随机变量X的概率密度为f(x)= B,1 x 3,

0,其它

其中A、B为大于零的常数,且已知P X 求：(1) A、B的值；

(2)随机变量X的分布函数F(x)；(结果用 (x)表示

, (x) (3) 数学期望E(X).

(22) (二)（本题满分11分）设曲线y y(x)在点(1,)处与直线4x 4y 3 0相切, 且y

y(x)满足方程y'' 求该曲线在相应x [ 1,1]上点(x,y)处的曲率.

(23) (一、三) （本题满分11分）设随机变量X、Y相互独立且同分布:

2

3 25 1 . 2 4

2

x

t2

dt). 14

1

P{X 2} P{X 2} ,且Z XY,试证明X、Y、Z两两独立,但不相互独立.

2

x 0 x(23) (二) （本题满分11分）

设f(x) n,在点x = 0 处可导,

x 0 aln(1 x) b,

求a、b及

1

1

f(x)dx的值.