第二节 极限的概念

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第一章 函数 极限 连续第二节 极限的概念

一,数列的极限 二,函数的极限 三,无穷大量

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一,数列的极限为正整数, 定义 设函数 un = f (n), 其中 n 为正整数 那么按自变量 n 增大的顺序排列的一串数 f (1), f (2), f (3), … , f (n), … , 称为数列 记作 { un } 称为数列,

或数列 un .

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若存在一个常数 M > 0 ,使得 | un | ≤ M (n = 1, , 2, )恒成立, 或存在两个数 M 和 m,使得 m ≤ un )恒成立,≤

M (M 称为上界 m 称为下界), 则称数列 un 为 称为上界, 称为下界)≤

有界数列,或称数列有界; 有界数列,或称数列有界; 数列有界若数列 un 满足 un

un+1

(n = 1, 2, )或 un ≥ un+1 (n = 1, 2, )则分别称 ) ) {un} 为单调递增数列或单调递减数列, 这两种数 单调递增数列或单调递减数列, 列统称为单调数列 列统称为单调数列. 单调数列

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例如 {un} : 2,3 ,4 ,,1 + 1 , 2 3 n

为单调递减数列; 为单调递减数列 又如

{un } :

1 2 3 1 0, , , , , , 1 2 3 4 n

为单调递增数列; 为单调递增数列; 而

3 1 + ( 1) n { un } : 1,2, , , , , + 1 1 1 , 2 n

是有界数列, 是有界数列, 但不是单调数列 .

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前面三个数列都有一种共同的现象,即当 n 前面三个数列都有一种共同的现象, 无限变大时, 无限变大时, 它们都无限地接近于 1,这就是极 , 限现象.显然 限现象 显然,数列 un 无限地接近于 1,可用数列 显然, , un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述 . 表示任意小的正数, 如果用符号 ε 表示任意小的正数, 那么就可 用 | un 1 | < ε 表示 . 于是 数列 un 的极限现象 于是, 可表述为: 无限变大时, 可表述为:当 n 无限变大时,就有 | un 1 | < ε . 一般地, 无限变大时, 一般地,当 n 无限变大时,数列 un 无限接近 的极限现象可定义如下: 于一个常数 A 的极限现象可定义如下:

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定义

如果当 无限变大时, 如果当 n 无限变大时,数列 un 与 A 之

差的绝对值小于任意小正数 ε ,即 | un A| < ε , 那么称当 趋向无穷大时, 为极限, 那么称当 n 趋向无穷大时,数列 un以 A 为极限, 此时亦称数列收敛, (或数列 un 趋向于 A ). 此时亦称数列收敛,记作

lim un = A (或当 n → ∞ 时 , un → A).n→∞

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前面三个数列的极限可分别表示为

1 lim 1 + = 1, n→ ∞ n 1 lim 1 = 1, n→ ∞ n

1 + ( 1) n lim 1 + n→ ∞ n

= 1.

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几点说明: 几点说明 的过程中, (1)在数列 un 趋向于 A 的过程中,它的变化较 )

1 复杂. 例如数列 1 + 是大于 1 而趋向于 1 ; 复杂 n 1 数列 1 是小于 1 而趋向于 1 ; 而数列 n 1 + ( 1) n 1 + 是忽大于 1,忽等于 1,而趋向 n 还可举出其他变化的例子. 于 1 . 还可举出其他变化的例子 这种变化的多样 性如不注意, 错误. 性如不注意,易在概念上发生 错误

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无限变大这句话, (2)对于 n 无限变大这

句话 也可用一个式子 ) 来表示, 来表示,如果记 N 为一个充分大的正整数,那么 为一个充分大的正整数, 就表示了这个意思, 表示了n 当 n > N 就表示了这个意思, N 表示了 无限变大 的程度, 这样 lim u = A 就是指:当 n > N 时, 的程度, 就是指: nn→ ∞

恒有 | un- A | < ε .

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(3)数列极限的几何解释 ) 如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个 点来表示,那么数列 un 趋向于 A 可解释为: 存在 点来表示, 可解释为 一充分大正整数 N,当 n > N 时,点 un 都落在点 , A 的 ε 邻域内,而不管 ε 有多么小(如图), 形象一 邻域内, 有多么小(如图) 点讲, 的周围. 点讲,数列 un 会密集在点 A 的周围O A ε uN+1 A uN+2 A +ε x

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并非所有数列都是有极限的, 并非所有数列都是有极限的, 例如

数列 un = ( 1)

n 1

:

1, 1, 1 , ( 1)

n 1

,n 1

数列 un = n : 1, 2, 3, , n ,

数列 un = ( 1)

n 1

n : 1, 4, 9, , ( 1)2

n ,

2

无限接近, 当 n →∞ 时, 它们均不与一个常数 A 无限接近, 没有极限的数列称为发散 所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为发散 数列或称数列发散 . 若数列收敛, 定理 若数列收敛,则数列有界 .

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二,函数的极限2( x 2 1) 当 x 无限接近于 1 时, 函数 f ( x ) = x 1

趋向于什么?2

显然,当 x ≠ 1 时, 显然,

函数

2( x 1) f ( x) = = 2( x + 1) 趋向于 4 . x 1

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一般地, 一般地,当 x 无限接近于 x0 时,函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下: 的定义如下: ) 定义 如果当 x 无限接近于 x0 时,恒有

| f (x) - A| < ε (ε 是任意小的正数),则称当自 是任意小的正数) 变量 x 趋向于 x0 时,函数 f (x) 趋向于 A , 记作 lim f ( x) = A (或当 x → x 0时 , f ( x ) → A ).x→x0

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几点说明: 几点说明: (1)与数列极限相似, f (x) 趋向于 A 的过程 )与数列极限相似, ) 中,可以有大于 A 的,可以有小于 A 的,也可以 有等于 A 的 .2( x 2 1) (2) 从上面例子 f ( x ) = ) 中看到 x 是不 x 1 一般地, 能等于 1 的,因为 x = 1 处函数没有定义 . 一般地,

在自变量 x→x0 过程中是不能等于 x0 的.

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(3)自变量 x → x0 也可以用不等式表示. ) 也可以用不等式表示

如

记作充分小的正数. 果用 δ 记作充分小的正数 那么 x 无限接近 x0 , 空心邻域表示, 可由 x0 的 δ 空心邻域表示,即 0 < | x x 0| < δ .

δ 表示 x 与 x0 接近的程度 这样 , 接近的程度. lim f ( x ) = Ax → x0

就是指, 就是指,当 0 < | x - x 0| < δ 时恒有 | f (x) - A | < ε . )

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(4) 几何解释 . )

0 < |x x0| < δ 时, 恒有 | f (x) A | < ε . 即

x → x0

lim f ( x ) = A

是指: 是指 : 当

Α ε < f (x) < A + ε. )作两条直线 y = A ε 与 y = A + ε . 不管它们之 间的距离有多么小. 间的距离有多么小 只要 x 进入 U( x , δ ) 内,曲 0 线 y = f (x) 就会落在这 两条直线之间. 两条直线之间O

x0 δ x0 x0 + δ x y A+ε + A y = f (x)

Αε