2.3指数函数及其性质(一)

张氏出品 必属精品

§2.1.2指数函数及其性质

①让我们每人准备一张报纸. 先把报纸对折一

次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍;

②我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为报 纸单页的4倍;③第三次再对折后,报纸的厚度是报纸单页的 8 倍;

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§2.1.2指数函数及其性质

纸张折叠次数 1 2 3 4 … 30 纸张厚度倍数 2 4 8 16 … y 30 2 1 22 2 3 23 2 若一张纸的厚度约为0.01mm,折叠 30次后的纸张厚度 y 与折叠次数的关系 30 是 y 2 0.01 ( mm ).

0.01×230≈10737418 (mm) ≈10737.418(m) >8844.43 (m).主页

§2.1.2指数函数及其性质

天哪!原 来如此!

8844

折叠 30 次 , 纸的厚度成倍增长 , 高度超过了 珠穆朗玛峰！主页

§2.1.2指数函数及其性质

银河系直径 10万光年

折叠87次后的纸张厚度与折叠次数的 87 关系是 y 2 0.01mm. ≈ 1.55×1024mm = 1.55×1018km

≈16万光年 >10万光年.主页

§2.1.2指数函数及其性质

截取 次数

1次

2次

3次

4次

x次

x 1 y ( ) 2

绳子 剩余

1米 2

1米 4

1米 8主页

1 米 16

( 1 )x 米 2

§2.1.2指数函数及其性质

1米长的细绳每次截取一半,所得长度依次为

1 米， 1 米， 1 米， 1 米， , 2 3 4 2 2 2 2 截取33次后所得长度为

( 1 )33 1.16 10 10 ( 米 ) 2

≈一个原子的直径.主页

§2.1.2指数函数及其性质

引例 .比较下列指数式的异同, 能不能把它们看成函数值?

①、 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ;

1 3

1 2

0

1

2

2

y 22 2

x

1 ②、 2

1 3

1 , 2

1 2

1 , 2

0

1 , 2

1

x 1 1 1 , , ; y 2 2 2

函数值？? 什么函数？主页

§2.1.2指数函数及其性质

我们从两列指数式得到两个函数:x

1 y 2 与y 2 x

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§2.1.2指数函数及其性质

设问:以上两个函数有何共同特征? (1)均为幂的形式; (2)底数是一个大于0且不等于1的常量. (3)自变量x在指数位置上. 这种函数就是我们本节课要学习的一 种新函数—指数函数.

一、指数函数的定义：函数 y=ax(a>0, 且 a≠1) 叫做指数函数 , 其 中x是自变量,函数定义域是R.主页

§2.1.2指数函数及其性质

思考1:为何规定a 0,且a 1 ?

( 3) 3 1 2 x 当a=0时，a 有些会没有意义，如 0 2 0 x当a<0时，a x有些会没有意义，如 当a=1时，a 恒等于1,没有研究的必要. 思考2:指数式a x中x∈R都有意义吗 ?

0

1

a

1 2

回顾上一节的内容，我们发现指数式 ab 中b可以是 有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.主页

§2.1.2指数函数及其性质

概念剖析1:判断下列函数,那些是指数函数？

(1) y=4x(3) y=-4x

(2) y=x4(4) y=(-3)x

(5)y=2x +1(7) y=xx

(6) y=3×4x(8) y (2a 1) x (a 1 , 且a 1)2

(9) y=3x+1 (10) y= 3-x 答案: (1) (8) (10) 是指数函数.点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.主页

§2.1.2指数函数及其性质

概念剖析2:函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的值.

解:由指数函数的定义有 a2-3a + 3=1, a>0, a≠1.a =1,或a = 2, 解得 a>0, a≠1. ∴ a = 2.

所以 a 的值为2.主页

§2.1.2指数函数及其性质

二、指数函数的图象：(1)描点法画函数的图象的步骤是什么? 列表、描点、连线. (2)在同一坐标系中画出下列函数的图象： ① y= 2 x ② y=0.5 xx2x

-38

-24

-12

-0.51.4主页

01 1

0.51.4

12

24

38

0.13 0.25 0.5 0.71

0.5x

0.71 0.5 0.25 0.13

§2.1.2指数函数及其性质

(3)函数y=2x与y=2-x函数的图象 y y=2x y=2-x8

64 2

1-3 -2 -1

研究函数要考 虑哪些性质?1 2 3

o

x

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1x §2.1.2指数函数及其性质 y ( ) 1 3 性质探究1:观察右边图象，回答问题 y ( )x

y=3X

问题一： 图象分别在哪几个象限？

2

Y

y = 2x

答：四个图象都在第____象限 Ⅰ、ⅡY=1

问题二： X O 图象的上升、下降与底数a有联系吗？ 0< a<1 答：当底数__时图象上升；当底数____时图象下降. a>1自上而下 底数a由大变小时函数图像在第一象限内按____ 顺序排列.

问题三： 图象中有哪些特殊的点？

(0,1) 答：四个图象都经过点____.主页

§2.1.2指数函数及其性质

性质探究2:函数图象特征总结 图象可向左、右两方无限伸展. 图象都在x 轴上方. 图象向上无限伸展,向下与x 轴无限接近.y8 6 4 2

都经过坐标为(0,1)的点. a>1时,图象从左至右逐渐上升.-3 -2 -1

1

o

1

2

3

x

0<a<1时,图象从左至右逐渐下降.主页

三、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质： 当x>0时, 当 x < 0 时 , a >1 y y>1. 0<y<1. 0< a <1 y(0,1)(0,1)

图象 y=1

y=1

o x o x ( , ) 定义域： 当x<1. 0时 , 性 (0, ) 当x>0时, 2. 值域： 0< y< 1. y > 1. (0,1) 0 3.过点 ,即x= 时,y= 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数

§2.1.2指数函数及其性质

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§2.1.2指数函数及其性质

性质探究 2 : 如图所示的是指数函数：

①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的

图象，则a,b,c,d与1的关系是(A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c

)

C.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c

[答案]主页

B 图

§2.1.2指数函数及其性质

总结回顾：底数a对图像的影响

在第一象限内的变化规律是什么

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