高等数学导数与微分练习题

1、求下列函数的导数。

sinx

； （3）y eaxsinbx； x

xxx 1

)。 （4）y ln(x x2 a2)；（5）y arctan；（6）y (1 xx 1

2、求下列隐函数的导数。

（1）y x3(x2 1)2； （2）y

已知y=y（x）则（1）ysinx cos(x y) 0；（2）已知ey xy e,求y (0)。

x a(t sint)dy3、求参数方程 (a 0)所确定函数的一阶导数与二阶导数

dx y a(1 cost)

d2y

。 2

dx

4、求下列函数的高阶导数。

（1）y x ,求y(n)； （2）y x2sin2x,求y(50)。 5、求下列函数的微分（导数）。 （1）y xx,(x 0)； （2）y

arcsinx x

2

。

6、已知y=x2+1，求在（1,1）点的切线斜率及法线斜率

1 2

xsin,x 0,

7、用定义求f (0)，其中f(x) 并讨论导函数的连续性。 x

x 0. 0,

8、.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.

9、答案：

1、（1）解：y [x3(x2 1)2] (x3) (x2 1)2 x3[(x2 1)] 3x2(x2 1)2 x3[2(x2 1)(x2) ] 3x2(x2 1)2 2x3(x2 1) 2x x2(x2 1)(7x2 3)。 （2）解：y (

sinxxcosx sinx

) 。 xx2

（3）解：y (eaxsinbx) aeaxsinbx beaxcosbx

eax(asinbx bcobxs)。 （4）解：y [ln(x x2 a2)]

1x x2 a21

[x x2 a2]

1x x2 a2

1x x a

1x x a

2

2

2

2

[1

2x2 a2

12x a

xx a

2

22

2

(x2 a2) ]

[1 2x]

1x a

2

2

[1 ] 。

（5）解：y (arctan

x 1

) x 1

1x 1

() x 12x 11 ()

x 1

(x 1)2(x 1) (x 1)1

。

2(x2 1)(x 1)2x2 1

xlnxx

（6）解：y [()] (e1 x)

1 x

x

xxx(1 x)(1 x) xx ()[ ln] 2

1 xx1 x(1 x)xx1x ()( ln)。 1 x1 x1 x

2、（1）解：两边直接关于x求导得

y sinx ycosx sin(x y)(1 y ) 0

y

ycosx sin(x y)

。

sinx sin(x y)

（2）解：将x 0代入原方程解得y 1,

原方程两边直接关于x求导得 eyy y xy 0， 上方程两边关于x再次求导得 ey(y )2 eyy 2y xy 0, 将x 0，y 1,代入上边第一个方程得y (0) e 1，

将x 0，y 1,y (0) e 1代入上边第二个方程得y (0) e 2。

3、解：

dxdy a(1 cost), asint； dtdt

dydydtasintt

cot； dxdta(1 cost)2

d2yddydt112t14t。 () ( csc ) csc

22a(1 cost)4a2dx2dtdxdx

4、（1）解：y x 1；y ( 1)x 2；……

依此类推y(n) ( 1) ( n 1)x n,(n 1)。 （2）解：设u sin2x,v x2,

则u(k) 2ksin(2x k )(k 1,2, ,50)，

2v 2x,v 2,v(k) 0(k 3,4, ,50), 代入萊布尼茨公式，得

y(50) (x2sin2x)(50)

250sin(2x 50 ) x2 50 249sin(2x 49 ) 2x

22

2x 250( x2sin2x 50xcos

1225

sin2x)。 2

50 4948

2sin(2x 48 ) 22!2

5、（1）解：y (exlnx) xx(lnx 1), dy xx(lnx 1)dx. （2）解：y

11 2x2

[ x arcsinx ]

21 x2 x22 x

x2 xarcsinx(1 x2)

3

2

；

dy y dx

x2 xarcsinx

32

dx。

(1 x2)

6、解：对y求导得：y=2x，将1带入y=2x，得k=2，即切线斜率为2，法线斜率k=-1/2.

f(x) f(0)

limx 0x 0

x2sin

1

1x xsin 0, lim xxx 0

7、解：f (0) lim

x 0

同理f (0) 0；故f (0) 0。

11111

x2cos 2 2xsin cos在x 0点连续，因此只需xxxxx

1

考查f (x)在x 0点的连续性即可。但已知cos在x 0点不连续，由连续函数

x

显然f (x) 2xsin

的四则运算性质知f (x)在x 0点不连续。 8、2 9

、