期末总复习-微积分知识总结

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

微积分辅导要点

第一部分 函 数

函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、 重点内容提要

1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。 ②分段函数是一个函数而不是几个函数。 求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示） 对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合） 主要根据：

①分式函数：分母≠0

②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量x 1

例1例2例3

求函数y x x的定义域。

ln(x 2y)

求函数的定义域。

22

4 x yy=

2 x

的定义域1-2x

2

例4 y ln(x 3x) arccosx

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。 2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。 3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。 4、关于复合函数定义

将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。

指出

y sine

1x

的复合过程

5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到

6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。

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二、 典型例题

类型题1、求函数定义域 例1 求函数f(x)

4 x

的定义域.

lg(x 1)

x 4

x 1 x 2

解 要使函数表达式有意义，x要满足：

4 x 0

即 x 1 0

lg(x 1) 0

1,

例2 求函数f(x)=

1,

所以函数的定义域为（1，2） （2，4］.

0 x 11 x 2

的定义域.

解 函数f(x)的定义域是[0，2].

小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。

如: (1)函数f(x) x x2的定义域是 (2)函数y

ln x 1 x 1

定义域是(3)函数f(x) log2(2x 1)+arcsin(1-x)的定义域

类型题2、函数值与函数记号 例 设f(x)=

1 1 1 ，求（1）f(x-1)；（2）f ；（3）f [f ]. x 1 x x

解 （1）f(x-1)=

11

(x 1) 1x

（2）f

1x 1 = x 1x 1x

1 1x 1

x 1

2x 1

（3）f [f

1 x

]=f

x x 1

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第二部分 极限与连续

作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题，要引起注意。

一、 重点内容提要

1、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件。 2、知道极限的四则运算法则 3、熟练掌握两个重要极限 4、关于无穷小量

（1）掌握无穷小量的定义，要特别注意极限过程不可缺少。 （2）掌握其性质与关系

无穷小量的判定也是一个比较重要的问题

x 0,下列那些量是无穷小量例：tanxsinx1 3

,xcosx,x,xsinx,,xsinxxx

5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法

（1）掌握函数的连续性定义 （2）掌握间断点定义

（3）掌握并会用单侧连续性

（4）掌握初等函数的连续性的结论 6、掌握闭区间上连续函数的性质

（1）理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。

（2）掌握介值定理的推论---零点定理。本定理主要用于判定一个方程根的存在性。

二、典型例题

求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等。

类型题1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限

例1

x x0

limf(x) lim(anxn an 1xn 1 a1x a0)

x x0

anx0 an 1x0

nn 1

a1x0 a0 f(x0)

n mn mn m

0

pn(x)anxn an 1xn 1 a1x a0 anlim lim

例2 x qm(x)x bmxm bm 1xm 1 b1x b0 bm

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p(x0)

q(x0) 0 q(x)

p(x) 0lim (洛比达法则)p(x0) q(x0) 0

例3 x x0q(x) 0

p(x0) 0；q(x0) 0

x2 2x 1

例1 求lim

x 1x3 1

解 注意到x 1使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决，我们有

x 1x2 2x 1(x 1)2

limlimlim 0 ==x 1x 1(x 1)(x2 x 1)x 1x2 x 1x3 1

注：约去零因子后，x 1成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了。 例2 求lim

x 4

x 1 3

x 2 2

解 同上题，设法分离出零因子，然后消去。有

lim

x 4

2x 1 3(2x 1 3)(x 1 3)(x 2 2)

=lim x 4

x 2 2(x 2 2)(2x 1 3)(x 2 2)

x 12 32 (x 2 ) 2x 8 x 2 2 lim =lim=22x 4 x 4

x 42x 1 3x 2 2 (2x 1 3)

=lim

x 4

2(x 2 2)2 222

2

3 332x 1 3

类型题2、利用两个重要极限求极限

重要极限一及其推广形式 lim

sinxsin (x)

1 ，推广形式 lim 1

x 0 (x) 0x (x)

sinx

1

x 0x注意比较以下四个极限

limxsinx 0

lim

x 0

lim

sinx

0

x x limxsinx 1

x

例2 求下列函数的极限： （1）lim

x 0

sin3xsin3x

； （2）lim.

x xx

解 （1）lim

x 0

sin3xsin3x令t 3xsint 3 3 1 3 3. =lim lim

x 0t 0x3xt

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sin3x11

=limsin3x=0（因为lim 0，而sin3x是有界函数）

x x xx xx

1

例3 求limxsin

x x

1sin

1 令t 1/x limsint 1. 解 limxsin=lim

x t 0xx 1t

x

（2）lim

重要极限二 及其推广形式

2

例1 求lim 1

x x 2

解 lim 1 =lim 1

x x x

例

x

x

2

x

x22

1

令u=2/x = lim 1 uu e2

u 0

2

sin2xsinx

lim limsinx 0 x 0x 0xx

x

(07.二.6) 极限lim(

x 1x

) x 1

类型题3、利用无穷小量的性质求极限

例1

例2

例3

11

xsin

lim 0 0lim

x 0x 0sinxsinx1

x

sin2xsinxlim limsinx 1 0 0x 0x 0xx

1sin

sinxsinx1limlimlimlimxsinx 0xx xx x xx

x2sin

limxsin

x 0

1

x

类型题4、利用洛必塔法则求极限

例1lim

例2

例3例6

cosx-cosa-sinx

lim 0

x 0x 0x-a1

11

-2ln(1 )

1x1 x2lim lim lim 1

x arccotxx 11 x2x 1 xx2

1 x11sinx

limxlnx例4lim( )例5limx

x 0xx 0 x 0 ex 1

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求极限lim

x 0

x0

x

2t2dt

t(1 sint)dt

类型题5、判断函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）

x 1 cos

, x2

例1 判断函数 f(x)

1, 2

x 0,

在x=0处的连续性。

x 0

x

sin 1

2

2

2

x

2(sin)2

cosx 1=lim lim解 因为limf(x)= lim2x 0x 0x 0x 0xx2

1

. 2

1

，所以函数f(x)在x=0处连续. 2

=

又因为 f(0)=

(07.二.7) 设f(x)

x 1 2

，要使f(x)在x=3处连续，应补充定义f(3)=_______

x 3

函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系 小结

判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。

类型题6、求函数的连续区间

例 求函数f(x)=

1

x 3x 2

2

的连续区间。

解 因为f(x)的定义域为x2—3x+2 0，即(x-1)(x-2) 0得x 1且x 2。 所以函数f(x)的连续区间是 ,1 1,2 2,

小结

由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。

类型题7、求函数间断点。 例1 求函数f(x)＝

1

的间断点。 2

x 2

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解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。 使(x+2)2=0的点为x= —2， x= —2是函数f(x)的间断点。 例1 求函数f(x)＝

(x 2)(x 1)

的间断点。

x 2(x 3)

解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。 使（x-2）(x-3)=0的点为x= 2，x= 3 x= 2，x= 3是函数f(x)的间断点。

类型题8、判定方程根的存在性

例1 证明：方程x 4x 1 0至少存在一个实根。

证：设f(x) x5 4x 1，则函数f(x)是定义在整个数轴上的初等函数，故在区间

5

[0,1]上连续，且有f(0) f(1) ( 1) (4) 0,，由零点定理知，至少存在一个点x c (0,1),使得f(c) 0,或c5 4c 1 0,即方程x5 4x 1 0至少存在一个实根

x c.

小结：这类证明题一般都是先行设一个函数，这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的。然后通过方程观察使函数值异号的两个不同点，这两个点做端点就可以形成一个区间。如果所设函数在此区间上连续，问题便转化为利用零点定理的证明问题了。当然，本题的区间可以不取0、1而取0和0.5、0和2等做端点，同样可以证明之。取0和1只是因为计算简单罢了。

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第三部分 导数与微分

求函数的导数与微分自然是作为高等数学（即微积分）考核的主要内容，应该做到十分熟练。其考核比例为30%。

一、重点内容提要

1、掌握导数的定义和几何意义

f(x0 x) f(x0)f(x) f(x0) y

f'(x0) li li li x 0 x x 0x x0 xx x0 yf(x x) f(x)

f'(x) li li x 0 x x 0 x

2、熟练掌握求导方法

（1）熟练基本初等函数的导数公式（按照所给的规律性成对记忆） （2）掌握导数的四则运算法则 （3）熟练掌握复合函数的求导法则 （4）掌握隐函数的求导法则

（5）熟练掌握高阶导数的求法（以二阶导数为主）

二、典型例题

类型题1、求显函数的导数

例1 求函数y=x3+x cosx+arctanx+ln2,求y'的导数；

121解 利用基本求导公式和四则运算法则，y'=3x+x3 sinx 31 x2

2

例2 设y=e-3x+ln(2x3+1), 求y'. 解 先利用四则运算法则有

y’=（e-3x）+(ln2x 1)

再分别使用复合函数求导法则，即得

y= —3e-3x+

-3x

/

3

'

/

12x 1

3

6x2

6x2

= —3e +3

2x 1

例3

y sine

arctan

1x

求y'

类型题2、隐函数求导方法

例1 求由方程x2-xy+y2=7所确定的隐函数y f(x)在点(2,-1)处的导数

dy。 dx

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解 方程两边对x求导有：2x-(y+xy')+2yy'=0

解得 y'=

y 2x

，于是有

2y x

y'

2, 1

y 2x5

2y x(2, 1)4

类型题4、取对数求导法 例1 y xx xa ax aa例2 y xsinx

(a 0)

求y'

求y'

(x 2)(x 5)3

例3 y

x 4(x 7)

类型题5、求函数的微分 补充：设y=解：∵y

求y'

x2 1 (arctgx)2，求dy.

111x2arctgx

2x 2arctgx 2222 x21 x1 x x

∴dy=y dx (

2arctgx

)dx 221 x x

x

例 设y=xy+ey 求dy.

解 注意到函数y是由二元方程所确定，方程两边对x求导：得 y'=y+xy'+eyy'

y'=

y

y

1 x e

dy=

小结

y

dx. y

1 x e

求函数y=f(x)的微分，只要求出f(x)的导数f'(x)，再乘以dx就可以了，即dy =f'(x)dx。故这里仅此一例足以了

类型题6、导数的几何应用 例1 求抛物线y=x2上点

11

, 处的切线方程. 24

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解 y'

x

1 2x2

x

12

11

， 1（点( ,)在曲线上）

24

抛物线y=x2上点

11

, 处的切线方程为 24

y—

11

= 1 x 42

即 4x+4y+1=0.

注意 在求曲线的切线方程时，要特别注意所给点是否在曲线上。

第四部分 导数的应用

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一、 重点内容提要

1、掌握罗必达法则

2、掌握函数增减性的导数符号判别法 （1）函数单调性的判断定理 （2）单调区间的确定

3、掌握函数的极值及其求法

4、知道曲线的凹向与拐点,掌握曲线凹向的判别法与拐点的的求法 5、掌握函数的最值的求法

二、典型例题

类型题1、求未定型的极限

ex e x 2

例1 求极限lim：

x 0sin2x

0ex e x 2ex e xex e x

lim解 lim（呈型）=lim 2x 0x 002sinxcosxx 0sin2xsinx0ex e x1 1

1 (仍呈型)==lim

x 002cos2x2

例2 求下列函数的极限： （1）lim（1-x）tan

x 1

x1 2

； （2） lim . x 12x 1lnx

解：（1）lim（1-x）tan

x 1

0 x1 x 1（呈0 型）==lim（呈）==lim

x 1x 120

csc2 cot

222

2sin2

=lim

x 1

x

2.

(2) lim

x 1

==lim

x 1

0xlnx x 11 x

（呈型） （呈 型）==limx 10(x 1)lnx x 1lnx

1lnx 1 1lnx

==lim=== x 1x 112

lnx lnx 1

xx

小结

（1）罗必塔法则既不是万能的，也不一定是最简的。

（2）罗必塔法则可以连续使用，但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件，只有三个条件都满足了，才能继续使用。 （3）使用罗必塔法则时，要及时化简。

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

类型题2、函数单调性的判定和应用 例 求证2

1

x>3-（x>1）

x

1 11

证明 设f（x）=2x- 3 ，则f'(x)= 2

x xx

当x>1时 f'(x)>0 故f（x）单调增加， 于是有当x>1时 f (x)>f(1)=0 即2

x3 1

2

x

11

x- 3 >0 即2x>3-

xx

注意：了解和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。

类型题3、函数的极值

例 求函数y xx 1的极值点及极值 解 函数的定义域是（- ，+ ）

y' x 1+

x3(x 1)

2

=

4x 3(x 1)

2

令y'=0 得驻点x=

3 4

又在

3

333 x=是函数的极小值点，其极小值为f（）=

444

类型题4、函数的凹向与拐点

例 讨论y 2x3 3x2 x 2的凹向，并求拐点。

1。 4

x3

例 讨论曲线f(x)=2（a>0）的凹向，并求拐点。

x 3a2

解 f'(x)

3x2(x2 3a2) 2x x3

(x 3a)

3

222

2

x4 9a2x2(x 3a)

2

22

4xf (x)=

18a2x x2 3a2 x4 9a2x2 2 x2 3a2 2x

x

2

3a

24

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

=

6a2x(x2 9a2)

x

2

3a

23

令f'(x)=0，得x1=0，x2=-3a，x3=3a

函数无二阶不可导点，f(x)的定义域为（-

，+），列表

类型题5、函数的最值 例 求y 2x3 3x2

[ 1,4]的最大值和最小值。

Q

，成本函数为 5

例 设某商品的需求函数为P=10-

C=50+2Q，求产量多少时总利润L最大。

QQ2

解 P=10-， C=50+2Q， R=PQ=10Q-，而

55

Q2Q2

L=R-C=10Q--50-2Q=8Q--50

55

令L'=8-

22

Q=0 得唯一驻点Q=20。又L =- 0 Q=20是极大值点 55

当产量Q=20时总利润L最大.

例 求平衡价格

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

第五部分 不定积分

不定积分运算是求导函数运算的逆运算，更是求定积分的基础，务求熟练。当然，求不定积分也是考核内容。

一、重点内容提要

1、（1）了解定义（2）掌握性质： （3）熟悉基本积分表 2、理解并掌握换元积分法 3、掌握分部积分法 1、原函数：F (x) f(x)

则称F（x）为f（x 2、不定积分：

⑴概念：f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。

f(x)dx F(x) C

注意以下几个基本事实：

f(x)dx f(x) f (x)dx f(x) C

d f(x)dx f(x)dx df(x) f(x) C

⑵性质：a f(x)dx af(x)dx(注意a 0)

f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx

⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义 ⑶性质：

⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有——

⑴直接积分法：直接使用积分基本公式

⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法

⑶分部积分法

二、典型例题

类型题1、利用某些恒等变换化为积分表中的公式直接积分

x2

dx 例1 求不定积分 1 x2

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

x2 1 11

dx解 原式= =1 dx=x-arctanx+c. 1 x2 1 x2

类型题2、利用第一类换元法求积分 例1 求不定积分sin3xdx.

3xdx 解 sin

令u 3x111sin3xd(3x)sinudu cosu c 333

1

cos3x c. 3

代回变换

—

例2 求不定积分x xdx：

13

1122222

解 x xdx= 1 x d(1 x) 1 x c

23

2

2

例3 求

x. x

1

解

3lnx22

lnxdlnx lnx2 c. x3

类型题3、利用第二类换元法求积分 例 求

x2

dx. 2 x

解 令2 x t，则x=2-t2，dx=-2tdt代入原式得

原式=

2 t ( 2tdt) 2

22

t

24

(4 4t t)dt

=-2 4t =

4315 2

t t c t(60 20t2 3t4) c 35 15

22

2 x60 20 2 x 3 2 x c 152

2 x 32 8x 3x2 c = 15

类型题4、利用分部积分法求积分 例1 求lnxdx.

对微积分的主要内容作了比较详细的总结,知识的梳理、典型例题的讲解以及习题练习

解

1

lnxdx xlnx x xdx xlnx x c

=x（lnx-1）+C. 例2 求cosxdx 解 令

x t ，则x=t2， dx=2tdt，

xdx cost 2tdt 2 tdsint

cos

=2(tsint sintdt) 2(sint cost) c =2

xsinx cosx c.