2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答(2)

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四、(本题25分) 平面上每个点被染为n种颜色之一，同时满足： (1)每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上； (2)至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色. 求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.

解：由已知n≥4，若n=4，在平面上取一定圆O及上面三点A、B、C，将弧AB(含A不含B)，弧BC(含B不含C)，弧CA(含C不含A)，分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.所以n≥5.

当n=5时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线l上恰有两种颜色的点(设l上仅有颜色1，2的点)，再由条件(1)知存在颜色分别为3，4，5的点A、B、C不共线，设过A、B、C的圆为⊙O，

若⊙O与l有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾；

若⊙O与l相离，过O作l的垂线交l于D，

设D的颜色为1，垂线交⊙O于点E，S，如图，

设E的颜色为3，考虑l上颜色为2的点F，FS交⊙O于G∵EG⊥GF，∴D、E、F、G四点共圆，由假设G只能为3又B，C必有一点不同于S，设为B，SB交l于H， ∵EB⊥BH，∴B，E，D，H四点共圆，

l

∴SB SH=SE SD=SG SF，∴B、H、F、G四点共圆. 若H为1色，则B、H、F、G互不同色且共圆； 若H为2色，则B、H、D、E互不同色且共圆.

综上，假设不成立，∴当n=5时，存在四个互不同色的点共圆. 所以n的最小值是5.

第二天

2007年8月2日 8:30 —11:30

αβ 1 tantan 22π 五、(本题25分) 设α,β∈(0,)，求A=

cotα+cotβ2

1 tan2

解：cotα+cotβ=

2tan

1 tantan

22∴A=

cotα+cotβ

的最大值.

2

α+

1 tan22tan

β=

(tan

α+tan

β)(1 tan

αtan

β

2

2

2tan

2

tan

2

2

)

αβ 2tan

tan 1 tantan 22 22 =

αβ αβ

tan+tan 1 tantan

22 22

≤

=

2

令tan

α2

=x

，tan

β2

=

y，则A=

再令t=，则t∈(0,1)，