2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答(3)

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t(1 t) t2+t (t+1)2+3(t+1) 22

所以A≤===3-(t+1+)

1+t1+tt+11+t

≤3-2(t+1)

2

=3-22. t+1

当且仅当t=2 1，即tan

α

2

2

=tan

β

2

=2 1时，等号成立.

αβ 1 tantan 22 所以，A=

cotα+cotβ

的最大值是3-22.

1

六、(本题25分) 已知f(x)=lg(x+1) log3x.

2(1)解方程f(x)=0； (2)求集合M

{nf(n

2

214n 1998)≥0，n∈Z}的子集个数.

=

(1)解：任取0<x1<x2，则

x+11x1

-log31 f(x1) f(x1)=lg(x1+1) lg(x2+1)-(log3x1 log3x2)=lg1

2x2x2+12

=lg

xx1+1

-log91.

x2x2+1

∵

x+1xx1+1x1

,∴lg1>lg1. >

x2+1x2x2+1x2

x1

xx2xx+1

∴f(x1) f(x1)>lg1-log91=lg1

x2lg9x2x2+1

lg

∵0<lg9<1,∴f(x1) f(x1)>lg∴f(x)为(0,+∞)上的减函数，

注意到f(9)=0，∴当x>9时，f(x)<f(9)=0，当0<x<9时，f(x)>f(9)=0， ∴f(x)=0有且仅有一个根x=9.

(2)由f(n2 214n 1998)≥0 f(n2 214n 1998)≥f(9)

x1x

-lg1=0 x2x2