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2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答(5)

发布时间:2021-06-06   来源:未知    
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x=

,y=,z=

222

∵ a,b,c都是整数,

∴ b+c a,c+b a,a+b c同为偶数或同为奇数.

于是,x,y,z均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ∵ r=1,∴ x=cot

ABC

,y=cot,z=cot 222

11+

x+yCABxyx+y

又cot=tan(+)=, ∴z= =

1222xy 1xy 11 xy

若x,y均为奇数的一半,不妨设x=则 z=

2m 12n 1

,y=(m,n∈N*), 22

4(m+n 1)

4mn 2m 2n 3

∵4(m+n 1)为偶数, 4mn 2m 2n 3为奇数,∴z不可能是奇数的一半,矛盾。 故x,y,z均为整数。

不妨设A≤B≤C,则C≥60,于是z=cot

C

≤3,又z∈N*,∴z=1,即z=r=1 2

∴四边形DCEI为正方形,其中I为 ABC的内心,即∠ACB=90.

故 ABC为直角三角形.

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