123456789
x=
,y=,z=
222
∵ a,b,c都是整数,
∴ b+c a,c+b a,a+b c同为偶数或同为奇数.
于是,x,y,z均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ∵ r=1,∴ x=cot
ABC
,y=cot,z=cot 222
11+
x+yCABxyx+y
又cot=tan(+)=, ∴z= =
1222xy 1xy 11 xy
若x,y均为奇数的一半,不妨设x=则 z=
2m 12n 1
,y=(m,n∈N*), 22
4(m+n 1)
4mn 2m 2n 3
∵4(m+n 1)为偶数, 4mn 2m 2n 3为奇数,∴z不可能是奇数的一半,矛盾。 故x,y,z均为整数。
不妨设A≤B≤C,则C≥60,于是z=cot
C
≤3,又z∈N*,∴z=1,即z=r=1 2
∴四边形DCEI为正方形,其中I为 ABC的内心,即∠ACB=90.
故 ABC为直角三角形.