2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答(4)

123456789

22 n 214n 1998≤9 n 214n 2007≤0∴ 2 2

n 214n 1998>0 n 214n 1998>0

(n 223)(n+9)≤0

222

(n 107)>1998+107=13447>115 9≤n≤223

n>222或n< 8

9≤n≤223

n≥223或n≤ 9

∴n=223或n= 9，∴M={ 9,223}，M的子集的个数是4.

七、(本题25分) 设

n是正整数, a其中[x]表示不超过x的最大整数)，求同时满足下列条件的n的最大值：

(1) n不是完全平方数；(2) a3n2.

解: 由

(1)得 aa+1 所以 a2＜n＜a2+2a+1即

a2+1≤n≤a2+2a

令 n=a2+t t∈{1,2,…,2a}

由(2)有 a3a4+2a2t+t2 a2t2

再由 a3a4+2a2t+t2 a3t2 记 t

2=ka3 则 t= 由于 t,a,n∈

N+,所以N+

由于t∈

{1,2,…,2a}, 所以 t=≤

2a 即

2 所以或2, ka≤4

at

a≤4

由于n=a2+t, 且a≤4, t≤2a,

所以 令 a=4 t=2a=8, 则 n=a2+t=16+8=24为最大. 经验证n=24满足(1),(2)两个条件,所以n的最大值24.

八、(本题25分) 设 ABC的内切圆半径为1，三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数，求证： ABC为直角三角形.

证明：设 ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D,E,F，记AE=AF=x，

BF=BD=y，CD=CE=z，则